نسبة المساحة بين مضلعين سداسيين داخل وحول دائرة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

لدينا مضلع سداسي منتظم يتم تضمينه داخل دائرة ومضلع سداسي آخر يتم تحييطه حول نفس الدائرة. ما هو نسبة مساحة المضلع الأكبر إلى مساحة المضلع الأصغر؟ قم بالتعبير عن إجابتك ككسر عادي.

الحل:

لنقم بتحليل هذه المسألة بشكل دقيق. لنعتبر مضلع السداسي الصغير أولاً. إذا كان الدائرة قد أُخذت بمركز المضلع، فإن طول ضلع المضلع الصغير يكون نصف قطر الدائرة.

لنرمز إلى طول ضلع المضلع الصغير بـ $s$ ونعتبر أن $O$ هو مركز الدائرة، فإن نسبة الضلوع إلى نصف القطر ($s : r$) تكون $s : r = 1 : 2$.

المضلع الأكبر الذي يحيط بالدائرة، يمكننا أن نرى أن طول ضلعه يكون نفس طول القطر للدائرة. لذلك، نسبة طول ضلع المضلع الكبير إلى نصف القطر ($S : R$) تكون $S : R = 1 : 1$.

الآن، إذا كنا نعلم أن نسبة نصف القطرين متساوية، فإن نسبة مساحة المضلعين تكون نفس النسبة المربعة للنصفين ($s^2 : S^2 = (s : S)^2$).

نعوض قيم النسبة ($s : S = 1 : 1$) لنجد أن نسبة المساحة تكون $1^2 : 1^2 = 1 : 1$.

إذاً، نسبة مساحة المضلع الكبير إلى المضلع الصغير هي ١:١، وبالتالي، الإجابة هي ككسر عادي $1 : 1$.

لنقم بتفصيل أكثر حول حل المسألة:

1. المراجعة الأولية:

   • لدينا مضلع سداسي داخل دائرة وآخر حول نفس الدائرة.

2. تحديد المعلومات:

   • لنمثل طول ضلع المضلع الصغير بـ $s$.
   • نفترض أن مركز الدائرة يتزامن مع مركز المضلع الصغير.
   • إذا كان نصف قطر الدائرة يُعبّر عنه بـ $r$.

3. تحليل النسب:

   • النسبة بين طول ضلع المضلع الصغير ونصف قطر الدائرة تكون $s : r = 1 : 2$.
   • النسبة بين طول ضلع المضلع الكبير ونصف قطر الدائرة تكون $S : R = 1 : 1$.

4. استخدام النسبة في حساب المساحة:

   • نسبة المساحة تكون نفس النسبة المربعة للنسبة الطولية ($s^2 : S^2 = (s : S)^2$).
   • إذاً، نسبة المساحة تكون $1^2 : 1^2 = 1 : 1$.

5. القوانين المستخدمة:

   • نسب الأضلاع والمساحة:
     • إذا كانت نسبة طول ضلوع متشابهة، فإن نسبة المساحة هي نفس النسبة المربعة.
   • دائرة ومضلع داخلها:
     • إذا كان مضلعاً منتظماً داخل دائرة، فنصف قطر الدائرة يقع في منتصف أي ضلع.

6. الإجابة:

   • نجد أن نسبة مساحة المضلع الكبير إلى المضلع الصغير هي $1 : 1$.

تم استخدام قوانين نظرية الأشكال الهندسية والتشابه في هذا الحل، حيث تساعد النسب في فهم التفاوتات بين المضلعين وكيفية تأثير ذلك على المساحة.