نسبة المساحة السوداء إلى البيضاء (مسألة رياضيات)

نرسم أربع دوائر متعامدة متراكزة بنصف قطرات 1، 3، 5، و 7. الدائرة الداخلية مرسومة باللون الأسود، والحلقة المحيطة بها باللون الأبيض، والحلقة التالية باللون الأسود، والحلقة الخارجية باللون الأبيض. نحتاج إلى حساب نسبة المساحة السوداء إلى المساحة البيضاء.

لنحسب مساحة الدوائر:

• مساحة الدائرة ذات نصف قطر 1 = $\pi \times 1^2 = \pi$
• مساحة الدائرة ذات نصف قطر 3 = $\pi \times 3^2 = 9\pi$
• مساحة الدائرة ذات نصف قطر 5 = $\pi \times 5^2 = 25\pi$
• مساحة الدائرة ذات نصف قطر 7 = $\pi \times 7^2 = 49\pi$

الآن، لحساب مساحة الدوائر الملونة:

• المساحة السوداء = مساحة الدائرة ذات نصف قطر 1 + مساحة الدائرة ذات نصف قطر 5 = $\pi + 25\pi = 26\pi$
• المساحة البيضاء = مساحة الدائرة ذات نصف قطر 3 + مساحة الدائرة ذات نصف قطر 7 = $9\pi + 49\pi = 58\pi$

نحسب النسبة بقسمة مساحة الدوائر الملونة على مساحة الدوائر البيضاء:
$\frac{26\pi}{58\pi} = \frac{13}{29}$

إذاً، النسبة بين المساحة السوداء والبيضاء هي $\frac{13}{29}$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم المساحة للدوائر وقوانين هندسية بسيطة. القوانين المستخدمة هي:

1. مساحة الدائرة: يتم حسابها باستخدام الصيغة $\pi r^2$ حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. الجمع والطرح لمساحات الأشكال: يمكننا جمع مساحات الدوائر أو طرحها للحصول على المساحة الكلية للمنطقة المرسومة.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين على المسألة:

1. نحتاج إلى حساب مساحة الدوائر الأربعة المرسومة.
2. ثم نقوم بتجميع مساحات الدوائر الملونة (السوداء) والدوائر البيضاء.

نريد حساب المساحة السوداء، وهي مساحة الدائرة ذات نصف قطر 1 ومساحة الدائرة ذات نصف قطر 5.

مساحة الدائرة ذات نصف قطر 1: $\pi \times 1^2 = \pi$

مساحة الدائرة ذات نصف قطر 5: $\pi \times 5^2 = 25\pi$

إذاً، المساحة السوداء = $\pi + 25\pi = 26\pi$.

الآن، نريد حساب المساحة البيضاء، وهي مساحة الدائرة ذات نصف قطر 3 ومساحة الدائرة ذات نصف قطر 7.

مساحة الدائرة ذات نصف قطر 3: $\pi \times 3^2 = 9\pi$

مساحة الدائرة ذات نصف قطر 7: $\pi \times 7^2 = 49\pi$

إذاً، المساحة البيضاء = $9\pi + 49\pi = 58\pi$.

نحسب النسبة بقسمة مساحة الدوائر الملونة على مساحة الدوائر البيضاء:

$\frac{26\pi}{58\pi} = \frac{13}{29}$

إذاً، النسبة بين المساحة السوداء والبيضاء هي $\frac{13}{29}$.