نسبة المساحة السطحية: كرة مقابل مخروط

إذا كانت قواعد نصف كرة ومخروط متساوية، وكانت أيضًا الأوتاد الرأسية لهما متساوية، فإن النسبة بين مساحتي السطح المنحني لهما يمكن حسابها على النحو التالي:

لنعتبر قاعدة الكرة بشكل دائرة، ولنمثل نصف قطر هذه الدائرة بالحرف “ر”. يكون محيط هذه الدائرة هو 2πر. ومن ثم، يكون لدينا مساحة السطح المنحني للنصف الكروي بمعادلة (2πر)^2.

أما بالنسبة للمخروط، فلنتخيل قاعدته كدائرة أيضًا، ولنكون لدينا نصف قطرها هو “ر”. بالتالي، محيط هذه الدائرة يكون 2πر، والسطح المنحني للمخروط يمكن حسابه بمعادلة πر × الضلع الجانبي. ونظرًا لأن ارتفاع المخروط متساوي لارتفاع النصف الكرة، يكون الضلع الجانبي هو نفسه نصف قطر الدائرة، أي “ر”.

لذا، مساحة السطح المنحني للمخروط هي πر × ر، أو بشكل مكرر (πر^2).

الآن، لحساب النسبة بين مساحتي السطح المنحني، نقوم بقسمة مساحة السطح المنحني للنصف الكري بالمساحة المنحنية للمخروط:

$\frac{(2πر)^2}{(πر^2)} = \frac{4π^2ر^2}{πر^2} = 4$

إذا كانت القواعد والأوتاد الرأسية للنصف الكري والمخروط متساوية، فإن النسبة بين مساحتي السطح المنحني لهما تكون 4:1.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً باستخدام القوانين الرياضية المعتمدة في هذا السياق. نعلم أن مساحة السطح المنحني للكرة هي $4πr^2$ حيث $r$ هو نصف قطر الكرة. وبالنسبة للمخروط، فإن مساحة السطح المنحني هي $πrL$ حيث $L$ هو الضلع الجانبي للمخروط.

القانون الذي نعتمد عليه في هذا الحل هو قانون باسكال، الذي ينص على أن “إذا كانت القوى تعمل على سطح مستوٍ، فإن الضغط المؤثر على أي نقطة في السطح يتناسب طرديًا مع مساحة هذه النقطة.”

فلنقم بتحليل الكرة أولاً، حيث إننا نعرف أن لديها قطر $2r$، وبالتالي نصف قطر $r$. نعلم أيضًا أن لدينا قاعدة دائرية للكرة، وبما أن الأوتاد الرأسية للكرة تتساوى مع الارتفاع، يكون هذا الارتفاع هو $r$ أيضًا.

المساحة الإجمالية للسطح المنحني للكرة:

$A_{\text{كرة}} = 4πr^2$

الآن، لنتناول المخروط الذي لديه نفس قاعدة الدائرة وارتفاع يساوي $r$ أيضًا. المساحة الإجمالية للسطح المنحني للمخروط:

$A_{\text{مخروط}} = πrL$

حيث $L$ هو الضلع الجانبي للمخروط. ونعلم من هنا أن $L = r$. لذلك:

$A_{\text{مخروط}} = πr \times r = πr^2$

الآن، لحساب النسبة بين المساحتين:

$\frac{A_{\text{كرة}}}{A_{\text{مخروط}}} = \frac{4πr^2}{πr^2} = 4$

إذًا، النسبة بين مساحة السطح المنحني للكرة إلى المخروط هي 4:1.