معامل الحد الثاني: حسابه وتطبيقاته (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو معامل الحد الثاني في توسيع $(x+1)^{42}$؟

الحل:
لحساب معامل الحد الثاني في توسيع $(x+1)^{42}$، نستخدم صيغة العامل الثنائي Binomial Theorem التي تعطينا المعاملات في توسيع $(a+b)^n$ حيث $a = x$ و $b = 1$ و $n = 42$ كما يلي:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث $\binom{n}{k}$ هو معامل الثنائي (عدد الطرق لاختيار $k$ عنصر من بين $n$ عناصر) ويمثل $n$ ارتفاع السلسلة، و $k$ هو القوة التي يرتفع إليها $b$ و $(n-k)$ هو القوة التي يرتفع إليها $a$.

لحساب معامل الحد الثاني، نحتاج إلى $k=40$ (نظراً لأن الأسس في العملية تبدأ من 0) لأن الأس المرتبط بـ $x^2$ هو $(x+1)^{42}$ يمكن أن يكون $x$ مرفوعاً للقوة 40، والرقم المرافق لـ $1$ يكون مرفوعاً للقوة $2$.

إذاً، يمكننا حساب معامل الثنائي كالتالي:

$\binom{42}{40} \cdot x^{42-40} \cdot 1^{40} = \binom{42}{40} \cdot x^2$

حيث $\binom{42}{40}$ هو عدد الطرق التي يمكننا فيها اختيار 40 عنصرًا من بين 42، وهو يساوي:

$\binom{42}{40} = \frac{42!}{40! \cdot (42-40)!} = \frac{42 \times 41}{2 \times 1} = 861$

إذاً، معامل الحد الثاني في توسيع $(x+1)^{42}$ هو $861x^2$.

لحل مسألة حساب معامل الحد الثاني في توسيع $(x+1)^{42}$، نحتاج إلى استخدام القانون الأساسي في الجبر، وهو قانون توسيع العامل الثنائي (Binomial Theorem). هذا القانون يسمح لنا بتوسيع تعبير $(a+b)^n$ حيث $a$ و $b$ هما عبارات رياضية، و $n$ هو قوة العبارة.

قانون توسيع العامل الثنائي يعطينا الطريقة لحساب أي معامل في التوسيع الثنائي للعبارة. يمكن تمثيل التوسيع بالصيغة التالية:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث:

• $\binom{n}{k}$ هو عدد الطرق التي يمكننا فيها اختيار $k$ عنصرًا من بين $n$ عناصر، ويسمى معامل الثنائي.
• $a$ و $b$ هما العبارتان المراد توسيعهما.
• $n$ هو القوة العددية التي تريد رفع العبارة إليها.

في مسألتنا، $(x+1)^{42}$ هي العبارة التي نريد توسيعها. لحساب معامل الحد الثاني، نريد العبارة التي تحتوي على $x^2$، وهذا يتحقق عندما يكون $k = 40$، لأن الأس المرتبط بـ $x^2$ هو $42-40=2$.

بموجب القانون المذكور، يكون معامل الحد الثاني هو:

$\binom{42}{40} \cdot x^{42-40} \cdot 1^{40}$

ومن هنا، يمكننا حساب معامل الثنائي كالتالي:

$\binom{42}{40} = \frac{42!}{40! \cdot (42-40)!} = \frac{42 \times 41}{2 \times 1} = 861$

إذاً، معامل الحد الثاني في توسيع $(x+1)^{42}$ هو $861x^2$.

باستخدام قانون توسيع العامل الثنائي، نستطيع حساب أي معامل في توسيع $(a+b)^n$ بسهولة، مما يساعدنا في حل مسائل الجبر بدقة وسرعة.