معادلة المستقيم المباشر للقطعة المخروطية (مسألة رياضيات)

المعادلة التي تصف القطعة المخروطية المعروفة باسم “القطع الناقص” والتي تمثل القوس المنحني للنقط التي تلبي شرط التناظر مع محور الأفقية ونقطه التركيز هي $y = 8x^2 + 2$. ولإيجاد معادلة المستقيم المستقيمة الذي يمثل الخط المستقيم الذي تقع عليه النقط المواجهة لأقطار القطعة المخروطية، يمكن استخدام الصيغة القياسية للقطعة المخروطية.

في الحالة الرئيسية للقطعة المخروطية الناقصة، يكون محور التناظر متوازياً لمحور الصورة، وبالتالي فإن المستقيم الذي يحدث بين النقط المواجهة لأقطار القطعة والذي يتواجد على الجانب المعاكس للنقطة التركيزية هو المستقيم المعروف بالمستقيم المباشر. وهذا المستقيم يكون متوازياً للمحور الرئيسي للقطعة المخروطية ويكون متباعداً بمقدار يساوي مقدار p عن المحور التناظري.

لتحديد معادلة المستقيم المباشر، نحتاج إلى العثور على الثابت p الذي يمثل المسافة بين نقطة التركيز ونقطة المستقيم المباشر.

للقطعة المخروطية التي يكون معادلتها $y = ax^2 + k$، يكون المستقيم المباشر لها على الجانب المعاكس لنقطة التركيز وعلى بعد p وحول المحور الرئيسي يكون له معادلة $y = -k – p$.

باستخدام هذا المفهوم، يمكننا تحديد معادلة المستقيم المباشر للقطعة المخروطية المعطاة. في هذه الحالة، $a = 8$ و $k = 2$، لذا المعادلة تصبح:

$p = \frac{1}{4a} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32}$.

بالتالي، المعادلة النهائية للمستقيم المباشر هي:

$y = -2 – \frac{1}{32}$.

وهذه تعتبر معادلة للمستقيم الذي يكون متوازياً للمحور الرئيسي للقطعة المخروطية ويكون على بعد $\frac{1}{32}$ من نقطة التركيز.

لحل مسألة معرفة معادلة المستقيم المباشر (المباشريكس) للقطعة المخروطية المعطاة، والتي تمثلها القوس الناقص $y = 8x^2 + 2$، نحتاج إلى فهم الخصائص الأساسية للقطعة المخروطية واستخدام القوانين المتعلقة بها.

1. مفهوم القطعة المخروطية الناقصة:
   القطعة المخروطية الناقصة هي نوع من المخروطات التي يكون محور تناظرها موازياً للمحور الأفقي وتكون معادلتها عادة على شكل $y = ax^2 + k$.

2. المستقيم المباشر (Directrix):
   المستقيم المباشر هو المستقيم الموازي للمحور الأفقي والذي يقع على بعد ثابت (مسافة) من نقطة التركيز وعلى الجانب المعاكس للقوس المنحني للقطعة المخروطية.

3. القانون المتعلق بالمستقيم المباشر:
   يتم تحديد معادلة المستقيم المباشر باستخدام الثابت “p” الذي يعبر عن المسافة بين المستقيم المباشر ونقطة التركيز للقطعة المخروطية. في الحالة العامة، إذا كانت معادلة القطعة المخروطية على شكل $y = ax^2 + k$، فإن المستقيم المباشر لها يكون على الجانب المعاكس لنقطة التركيز وعلى بعد “p” من المحور الرئيسي، ومعادلته تكون $y = -k – p$.

الآن، بالنظر إلى المعادلة المعطاة $y = 8x^2 + 2$، نستخدم القانون المذكور لتحديد معادلة المستقيم المباشر.

1. نجد الثابت “p”، والذي يعبر عن المسافة بين المستقيم المباشر ونقطة التركيز:
   $p = \frac{1}{4a} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32}$.

2. بعد ذلك، نستخدم المعادلة للمستقيم المباشر:
   $y = -k – p = -2 – \frac{1}{32}$.

لذا، المعادلة النهائية للمستقيم المباشر هي $y = -2 – \frac{1}{32}$.

هذا الحل يستند إلى فهمنا لخصائص القطع المخروطية واستخدام القوانين المتعلقة بها، مما يساعدنا على تحديد معادلة المستقيم المباشر بدقة.