مساحة مثلث DBC: الحل والتحليل (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن $D$ و $E$ هما نقطتا منتصف الضلعين $\overline{AB}$ و $\overline{BC}$ على التوالي في المثلث $\triangle ABC$، فإن نقطة $D$ تقع على الضلع $\overline{AB}$ ونقطة $E$ تقع على الضلع $\overline{BC}$. بالتالي، نعلم أن الضلع $\overline{AD}$ يمثل نصف طول الضلع $\overline{AB}$، وكذلك الضلع $\overline{BE}$ يمثل نصف طول الضلع $\overline{BC}$.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مفهوم المثلثات المتطابقة. إذاً، نعلم أن المثلثات $\triangle ADE$ و $\triangle CBE$ متطابقتان بناءً على خاصية المثلثات المتطابقة لهما لكون لديهما زوايا وضلوع متساوية.

المعلومات الأساسية:

• $AD = DB$ (لأن $D$ هو منتصف $AB$)
• $BE = EC$ (لأن $E$ هو منتصف $BC$)
• $\angle ADE = \angle CBE$ (نظرًا لأن الزاويتين المتقابلتين لنقاط المثلثات المتطابقة متساويتان)

بالنظر إلى المثلث $\triangle DBC$، نرى أنه متكون من المثلثات المتطابقة $\triangle ADE$ و $\triangle CBE$ والذي يشتركان في الزاوية $\angle DEC$. بالتالي، نلاحظ أنهما متطابقتان تمامًا.

الآن، لنحسب مساحة المثلث $\triangle DBC$، نحسب مساحة المثلث $\triangle ADE$ ونضربها في 2 لأنهما متطابقتان.

لحساب مساحة $\triangle ADE$، نستخدم القاعدة التالية: مساحة المثلث = $\frac{1}{2} \times$ القاعدة $\times$ الارتفاع.

القاعدة: طول الضلع $AB$ وهو $6$ (الفارق بين الإحداثيات $6 – 0 = 6$).
الارتفاع: طول الضلع $EC$ وهو $4$ (الفارق بين الإحداثيات $8 – 4 = 4$).

إذاً، مساحة $\triangle ADE = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$ متر مربع.

المساحة الكلية لمثلث $\triangle DBC = 2 \times 12 = 24$ متر مربع.

لحل مسألة حساب مساحة مثلث $DBC$ بناءً على المعلومات المقدمة في الرسم، يتعين علينا استخدام مفاهيم الهندسة الأساسية والقوانين المتعلقة بالمثلثات. سنقوم بتحليل الرسم وتطبيق القوانين التالية:

1. قانون منتصف الضلع:
   إذا كانت $D$ و$E$ نقط منتصف الضلعين $AB$ و$BC$ على التوالي، فإن طول الضلع $AD$ يساوي طول الضلع $DB$، وكذلك طول الضلع $BE$ يساوي طول الضلع $EC$.

2. مفهوم المثلثات المتطابقة:
   إذا كانت لدينا زاويتين متساويتين وضلوع متساوية في مثلثين، فإن المثلثين متطابقين.

الخطوات لحل المسألة:

أولاً، نرى أن $D$ هو نقطة منتصف الضلع $AB$، لذا طول الضلع $AD$ يساوي طول الضلع $DB$. بالمثل، نقاط $E$ و$F$ هي نقاط منتصف الضلع $BC$ و$AC$ على التوالي.

الآن، نريد حساب مساحة المثلث $DBC$. لكن لدينا معلومات عن المثلثات المتطابقة $ADE$ و$CBE$ ونعلم أنهما متطابقتان.

لحساب مساحة المثلث $ADE$، نستخدم القاعدة التالية:
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

حيث القاعدة هي الطول $AB$ والارتفاع هو الطول $EC$.

بما أن $AB = 6$ و$EC = 4$، إذاً:
$\text{مساحة } \triangle ADE = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

الآن، نضاعف هذه المساحة لأننا نعلم أن المثلث $DBC$ يتألف من مثلثين متطابقين:
$\text{مساحة } \triangle DBC = 2 \times 12 = 24$

لذا، مساحة المثلث $DBC$ تساوي $24$ وحدة مربعة.