مساحة مثلث 8-15-17: حل وافٍ (مسألة رياضيات)

تفترض المسألة وجود مثلث يتكون من ثلاثة أضلاع، حيث تكون أطوال الأضلاع هي 8 و 15 و 17 وحدة. الهدف هو حساب مساحة هذا المثلث بوحدات مربعة.

لحساب مساحة المثلث، يمكن استخدام قانون هرون لحساب المساحة بناءً على أطوال الأضلاع. يعطي قانون هرون مساحة المثلث بالصيغة التالية:

مساحة المثلث = √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))

حيث:
s هو نصف محيط المثلث ويتم حسابه كالتالي: s = (a + b + c) / 2
a و b و c هي أطوال الأضلاع.

لذا، أولاً يجب حساب نصف محيط المثلث، ثم استخدام القانون المذكور لحساب المساحة.

للمثلث المعطى:
a = 8، b = 15، c = 17

نبدأ بحساب نصف محيط المثلث:
s = (8 + 15 + 17) / 2
s = 40 / 2
s = 20

الآن، نستخدم القانون المذكور لحساب مساحة المثلث:
مساحة المثلث = √(20 * (20 – 8) * (20 – 15) * (20 – 17))

= √(20 * 12 * 5 * 3)

= √(3600)

= 60

إذاً، مساحة المثلث المعطى تساوي 60 وحدة مربعة.

لحل مسألة حساب مساحة المثلث المعطى بأطوال أضلاع محددة (8، 15، 17 وحدة)، نستخدم مجموعة من القوانين الهندسية والرياضية. القوانين التي سنستخدمها تشمل قانون فيثاغورس وقانون هرون.

1. قانون فيثاغورس:
   قانون فيثاغورس ينطبق على المثلثات القائمة حيث يقول أن مربع طول الضلع الأطول (الوتر) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين. في المثلث القائم، إذا كانت أضلاع المثلث تمثل a، b، و c، حيث c هو الوتر (الضلع الأطول)، فإن العلاقة تكون كالتالي:
   $c^2 = a^2 + b^2$

2. قانون هرون:
   قانون هرون يستخدم لحساب مساحة المثلث عندما تكون أطوال الأضلاع معروفة. يتضمن القانون حساب نصف محيط المثلث ثم استخدامه لحساب مساحة المثلث. يتمثل القانون في الصيغة التالية:
   مساحة المثلث = √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))
   حيث:

   • s هو نصف محيط المثلث ويتم حسابه كالتالي: $s = (a + b + c) / 2$
   • a و b و c هي أطوال الأضلاع.

الآن، دعونا نقوم بحل المسألة باستخدام هذه القوانين:

أولاً، نتحقق من أن المثلث يعتبر مثلثًا قائم الزاوية بناءً على قانون فيثاغورس، حيث تكون الأضلاع 8، 15، و17. يتحقق الشرط إذا كانت مربع طول الضلع الأطول (17) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين (8 و 15).

$17^2 = 8^2 + 15^2$
$289 = 64 + 225$
$289 = 289$

يتحقق الشرط، لذا المثلث هو مثلث قائم الزاوية.

ثانياً، نحسب نصف محيط المثلث:
$s = (8 + 15 + 17) / 2 = 20$

ثالثاً، نستخدم قانون هرون لحساب مساحة المثلث:
$مساحة المثلث = √(20 * (20 – 8) * (20 – 15) * (20 – 17))$
$= √(20 * 12 * 5 * 3)$
$= √(3600)$
$= 60$

إذاً، مساحة المثلث المعطى تساوي 60 وحدة مربعة.