مساحة مثلث منحنيات الدوال. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو عدد وحدات المساحة في مساحة المثلث الذي تشكل نقاطه نقاط التقاطع مع المحورين $x$ و $y$ للمنحنى $y = (x-3)^2 (x+2)$؟

الحل:
أولاً، نحتاج إلى إيجاد نقاط التقاطع مع المحورين. للحصول على نقطة التقاطع مع المحور السيني $x$، نحتاج إلى حل المعادلة $y = 0$، وللحصول على نقطة التقاطع مع المحور الصادي $y$، نحتاج إلى حل المعادلة $x = 0$.

أولاً، لنحسب نقاط التقاطع مع المحور السيني $x$:
$y = 0$
$(x-3)^2 (x+2) = 0$

المعادلة السابقة تساوي صفر إما عندما يكون العامل الأول $(x-3)$ يساوي صفر، أو عندما يكون العامل الثاني $(x+2)$ يساوي صفر.

لذا، نحل المعادلتين التاليتين:

1. $x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
2. $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

لذا، نقاط التقاطع مع المحور السيني $x$ هي $(3, 0)$ و $(-2, 0)$.

ثانياً، لنحسب نقطة التقاطع مع المحور الصادي $y$:
$x = 0$
$y = (0-3)^2 (0+2) = 9 \times 2 = 18$

لذا، نقطة التقاطع مع المحور الصادي $y$ هي $(0, 18)$.

الآن، لنقم برسم المثلث باستخدام نقاط التقاطع التي حسبناها. المثلث مكون من النقاط $(3, 0)$، $(-2, 0)$، و $(0, 18)$.

الآن، لحساب مساحة المثلث، سنستخدم صيغة مساحة المثلث القائم:
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

نلاحظ أن قاعدة المثلث هي البعد بين نقطة $(3, 0)$ و $(-2, 0)$، والذي يساوي $3 – (-2) = 5$ والارتفاع هو المسافة بين نقطة $(0, 18)$ والمحور السيني $x$، والتي تساوي $18$.

وبالتالي،
$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times 5 \times 18 = \frac{1}{2} \times 90 = 45$

إذاً، مساحة المثلث هي 45 وحدة مربعة.

لحل المسألة، سنستخدم مجموعة من الخطوات الرياضية والقوانين الهندسية لتحديد نقاط التقاطع مع المحورين $x$ و $y$، ومن ثم حساب مساحة المثلث المكون من هذه النقاط.

الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. معادلة الانحناء: نبدأ بمعادلة الانحناء التي تمثل المنحنى المعطى، وهي $y = (x-3)^2 (x+2)$.

2. حساب نقاط التقاطع مع المحور السيني $x$: نقوم بحل المعادلة $y = 0$ للعثور على نقاط التقاطع مع المحور السيني. نستخدم خاصية أن القيمة الناتجة عن ضرب أي عدد في صفر تكون صفر، وهو ما يعني أنه عندما يكون أحد عوامل المعادلة مساوياً لصفر، فإن الناتج يكون صفر.

3. حساب نقطة التقاطع مع المحور الصادي $y$: نستخدم المحور الصادي $x = 0$ لحساب قيمة $y$.

4. حساب مساحة المثلث: باستخدام نقاط التقاطع التي حسبناها، نستخدم قانون مساحة المثلث القائم الذي يقول إن مساحة المثلث يساوي نصف ضرب قاعدته في ارتفاعه.

5. الحسابات النهائية: نقوم بتطبيق القوانين الرياضية والهندسية للوصول إلى قيمة مساحة المثلث.

بعد إتمام هذه الخطوات، نحصل على قيمة مساحة المثلث المطلوبة.