مساحة قطاع الفوز في دائرة (مسألة رياضيات)

نعطي دائرة دوّارة لعبة نصف قطرها 5 سم. فإمكانية الفوز في دورة واحدة من هذه الدائرة هي $\frac{2}{5}$. ما مساحة القطاع الفائز، بالسنتيمتر المربع، في هذه الدائرة؟

لحل هذه المسألة، يجب أولاً حساب المحيط الكامل للدائرة باستخدام الصيغة $C = 2\pi r$ حيث $r$ هو نصف القطر، ويساوي 5 سم في هذه الحالة.
$C = 2\pi \times 5 = 10\pi \, \text{سم}$

ثم نستخدم النسبة المعطاة لمعرفة مساحة القطاع الفائز. النسبة المعطاة هي نسبة مساحة القطاع الفائز إلى مساحة الدائرة الكاملة.

إذاً، نعلم أن:
$\text{نسبة المساحة الفائزة} = \frac{\text{مساحة القطاع الفائز}}{\text{مساحة الدائرة الكاملة}}$

والتي تساوي النسبة المعطاة لفرصة الفوز:
$\frac{\text{مساحة القطاع الفائز}}{\pi \times 5^2} = \frac{2}{5}$

نستخرج مساحة القطاع الفائز:
$\text{مساحة القطاع الفائز} = \frac{2}{5} \times \pi \times 5^2 = \frac{2}{5} \times 25\pi = 10\pi \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة القطاع الفائز هي 10π سم².

لحل المسألة، سنستخدم المفاهيم الأساسية في الهندسة الرياضية والاحتمالات. سنقوم بحساب محيط الدائرة ومن ثم استخدام النسبة المعطاة لحساب مساحة القطاع الفائز.

القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. محيط الدائرة: الصيغة الأساسية لحساب محيط الدائرة هي $C = 2\pi r$ حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. مساحة القطاع الدائري: يمكن حساب مساحة القطاع الدائري باستخدام نسبة الزاوية إلى الدائرة الكاملة ثم ضربها في مساحة الدائرة.

3. احتمالية الفوز: يُعطى بنسبة مساحة القطاع الفائز إلى مساحة الدائرة الكاملة.

الحل:

أولاً، نحسب محيط الدائرة باستخدام الصيغة $C = 2\pi r$، حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة ويساوي 5 سم.

$C = 2\pi \times 5 = 10\pi \, \text{سم}$

ثانياً، نستخدم النسبة المعطاة لحساب مساحة القطاع الفائز. النسبة المعطاة هي نسبة مساحة القطاع الفائز إلى مساحة الدائرة الكاملة.

$\frac{\text{مساحة القطاع الفائز}}{\text{مساحة الدائرة الكاملة}} = \frac{2}{5}$

نحل للحصول على مساحة القطاع الفائز:

$\text{مساحة القطاع الفائز} = \frac{2}{5} \times \pi \times 5^2 = \frac{2}{5} \times 25\pi = 10\pi \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة القطاع الفائز هي 10π سم².