مساحة المنطقة الناتجة من معادلة قيم مطلوبة. (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد مساحة المنطقة في السطح تحتوي على المنحني التي يُعرف عن طريق المعادلة:
$|x + y| + |x – y| \le 4.$

لنقم بتحليل الظروف المختلفة لهذه المعادلة:

1. عندما $x + y \ge 0$ و $x – y \ge 0$:
   $x + y + x – y \le 4 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2.$
   ومن هنا: $0 \le x \le 2$.

2. عندما $x + y \ge 0$ و $x – y \le 0$:
   $x + y – (x – y) \le 4 \implies 2y \le 4 \implies y \le 2.$
   ومن هنا: $0 \le y \le 2.$

3. عندما $x + y \le 0$ و $x – y \ge 0$:
   $(x + y) + (x – y) \le 4 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2.$
   ومن هنا: $0 \le x \le 2$.

4. عندما $x + y \le 0$ و $x – y \le 0$:
   $(x + y) – (x – y) \le 4 \implies 2y \ge -4 \implies y \ge -2.$
   ومن هنا: $-2 \le y \le 0$.

من خلال تحليل هذه الحالات، نجد أن المنطقة المطلوبة هي مربع بطولي بأطوال $4$ و $4$ متربع ومركزه النقطة $(0,0)$. لذلك، مساحة هذا المربع تساوي $4 \times 4 = 16$ متر مربع.

لحل المسألة المعطاة، سنبدأ بتحليل وفهم المعادلة التي تحدد المنطقة في السطح ومن ثم استخدام القوانين الأساسية للقيم المطلوبة.

المعادلة التي نريد حلها هي:
$|x + y| + |x – y| \le 4.$

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل أربع حالات مختلفة لقيم $x$ و $y$ عندما تأخذ القيم الموجبة والسالبة. نبدأ بتحليل قيم $x + y$ و $x – y$.

1. عندما $x + y \ge 0$ و $x – y \ge 0$:
   في هذه الحالة، نعبر عن $|x + y|$ ببساطة بـ $x + y$ و $|x – y|$ بـ $x – y$.
   لذلك، نحصل على المعادلة:
   $(x + y) + (x – y) \le 4 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2.$
   وبما أن $x + y \ge 0$ و $x – y \ge 0$، فإن $x$ و $y$ ينتميان إلى الربع الأول.
   وبالتالي، نحصل على مجموعة القيم: $0 \le x \le 2$ و $0 \le y \le 2$.

2. عندما $x + y \ge 0$ و $x – y \le 0$:
   في هذه الحالة، نعبر عن $|x + y|$ بـ $x + y$ و $|x – y|$ بـ $-(x – y)$ (حيث يكون ناتج الفرق سالبًا).
   لذلك، نحصل على المعادلة:
   $(x + y) – (x – y) \le 4 \implies 2y \le 4 \implies y \le 2.$
   وبما أن $x + y \ge 0$ و $x – y \le 0$، فإن $x$ ينتمي إلى الربع الأول و $y$ ينتمي إلى الربع الثاني.
   وبالتالي، نحصل على مجموعة القيم: $0 \le x \le 2$ و $0 \le y \le 2$.

3. عندما $x + y \le 0$ و $x – y \ge 0$:
   في هذه الحالة، نعبر عن $|x + y|$ بـ $-(x + y)$ و $|x – y|$ بـ $x – y$.
   لذلك، نحصل على المعادلة:
   $-(x + y) + (x – y) \le 4 \implies 2x \le 4 \implies x \le 2.$
   وبما أن $x + y \le 0$ و $x – y \ge 0$، فإن $x$ ينتمي إلى الربع الأول و $y$ ينتمي إلى الربع الثالث.
   وبالتالي، نحصل على مجموعة القيم: $0 \le x \le 2$ و $-2 \le y \le 0$.

4. عندما $x + y \le 0$ و $x – y \le 0$:
   في هذه الحالة، نعبر عن $|x + y|$ بـ $-(x + y)$ و $|x – y|$ بـ $-(x – y)$ (حيث يكون ناتج الفرق سالبًا).
   لذلك، نحصل على المعادلة:
   $-(x + y) – (x – y) \le 4 \implies 2y \ge -4 \implies y \ge -2.$
   وبما أن $x + y \le 0$ و $x – y \le 0$، فإن $x$ و $y$ ينتميان إلى الربع الرابع.
   وبالتالي، نحصل على مجموعة القيم: $-2 \le x \le 0$ و $-2 \le y \le 0$.

بعد تحليل هذه الحالات، نجد أن المنطقة المطلوبة هي مربع بأضلاع طولها $4$ ومركزها النقطة $(0,0)$. لذلك، مساحة هذا المربع تساوي $4 \times 4 = 16$ وحدة مربعة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التعبير عن القيم المطلوبة عن طريق المعادلات والمتغيرات.
2. قواعد القيم المطلوبة عندما تكون المتغيرات موجبة أو سالبة.
3. قواعد التعبير عن القيم المطلوبة عندما تكون قيم المتغيرات موجبة أو سالبة بالنسبة للمتغيرات الأصلية أو ناتج الطرح بين المتغيرين.

هذا الحل يعتمد على استخدام ق