مساحة الأسطوانة: الحسابات والتطبيقات (مسألة رياضيات)

ما هي مساحة السطح الكلية، بما في ذلك الجزئين العلوي والسفلي، لأسطوانة بارتفاع 10 ونصف قطرها 3؟

الحل:
لحساب مساحة السطح الكلية للأسطوانة، نحتاج إلى حساب مساحة الجزئين العلوي والسفلي بالإضافة إلى مساحة الجانب.

1. مساحة القاعدة الواحدة (الجزء العلوي أو السفلي) للأسطوانة تُعطى بمعادلة مساحة دائرة:
   $A_{\text{قاعدة}} = \pi r^2$
   حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. لحساب مساحة الجانب، نحتاج إلى مساحة المستطيل الذي يتكون من طول الأسطوانة (المحيط) وارتفاع الأسطوانة. مساحة المستطيل تُعطى بالمعادلة:
   $A_{\text{جانب}} = 2 \pi r h$
   حيث $h$ هو الارتفاع.

3. الآن، نقوم بحساب مساحة السطح الكلية عن طريق جمع مساحة القاعدين ومساحة الجانب:
   $A_{\text{كلية}} = 2 \times A_{\text{قاعدة}} + A_{\text{جانب}}$

الآن لنقم بتطبيق القيم المعطاة:

• نصف قطر الدائرة ($r$) هو 3 والارتفاع ($h$) هو 10.

أولاً، نحسب مساحة القاعدة:
$A_{\text{قاعدة}} = \pi \times 3^2 = 9\pi$

ثانيًا، نحسب مساحة الجانب:
$A_{\text{جانب}} = 2 \pi \times 3 \times 10 = 60\pi$

الآن، نجمع القيم معًا للحصول على المساحة الكلية:
$A_{\text{كلية}} = 2 \times 9\pi + 60\pi = 18\pi + 60\pi = 78\pi$

لذا، مساحة السطح الكلية للأسطوانة هي $78\pi$ وحدة مربعة.

لحل مسألة مساحة السطح الكلية للأسطوانة، نستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية:

1. مساحة الدائرة:
   قانون الهندسة يحدد مساحة الدائرة بالعلاقة التالية:
   $A_{\text{قاعدة}} = \pi r^2$
   حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. مساحة المستطيل (الجانب):
   لحساب مساحة المستطيل الذي يشكل الجانب الأسطواني، نحتاج إلى طول المحيط وارتفاع الأسطوانة. مساحة المستطيل تُعطى بالعلاقة:
   $A_{\text{جانب}} = \text{المحيط} \times \text{الارتفاع}$
   ومن المعروف أن المحيط يُحسب بالعلاقة: $\text{المحيط} = 2 \pi r$

3. المساحة الكلية:
   نحسب المساحة الكلية بجمع مساحة القاعدين (الجزئين العلوي والسفلي) ومساحة الجانب:
   $A_{\text{كلية}} = 2 \times A_{\text{قاعدة}} + A_{\text{جانب}}$

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المعطيات التي أعطيت في المسألة:

• نصف قطر الدائرة ($r$) هو 3 والارتفاع ($h$) هو 10.

أولاً، نحسب مساحة القاعدة:
$A_{\text{قاعدة}} = \pi \times 3^2 = 9\pi$

ثانيًا، نحسب مساحة الجانب:
$A_{\text{جانب}} = \text{المحيط} \times \text{الارتفاع} = 2 \pi \times 3 \times 10 = 60\pi$

الآن، نجمع القيم معًا للحصول على المساحة الكلية:
$A_{\text{كلية}} = 2 \times 9\pi + 60\pi = 18\pi + 60\pi = 78\pi$

لذا، مساحة السطح الكلية للأسطوانة هي $78\pi$ وحدة مربعة.

هذا الحل يعتمد على مفهوم الهندسة الأساسي لمساحة الأشكال الهندسية وقوانين حساب المحيط والمساحة للأشكال الهندسية المختلفة.