مسألة السرعة والزمن: حلاً غير ممكن (مسألة رياضيات)

المسألة:
جي أسرع من بي. كل من جي وبي يسيرون مسافة 24 كيلومتر. مجموع سرعتي جي وبي هو 7 كيلومترات في الساعة. مجموع الوقت الذي يستغرقه كل منهما هو 14 ساعة. ثم يكون سرعة جي ما؟

الحل:
لنقم بتعريف سرعة جي بـ $x$ كيلومتر في الساعة وسرعة بي بـ $y$ كيلومتر في الساعة.

نعلم أن $x > y$ وأن $x + y = 7$.

كل من جي وبي يقطعان مسافة 24 كيلومتر، لذا الوقت الذي يستغرقه جي هو $\frac{24}{x}$ ساعة والوقت الذي يستغرقه بي هو $\frac{24}{y}$ ساعة.

ونعلم أيضًا أن مجموع الوقتين هو 14 ساعة:

$\frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 14$.

لنقم بحساب قيمة $y$ من المعادلة $x + y = 7$، نطرح $x$ من المعادلة:

$y = 7 – x$.

الآن، نستخدم قيمة $y$ في المعادلة $\frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 14$ للحصول على قيمة $x$.

$\frac{24}{x} + \frac{24}{7 – x} = 14$.

نضرب كل جانب في $\frac{x(7 – x)}{24}$ لتجنب الكسور:

$x(7 – x) + 24 = 14x$.

نطوّر المعادلة:

$7x – x^2 + 24 = 14x$.

نرتب المعادلة بحيث يكون لدينا معادلة تربعية:

$x^2 – 7x + 24 = 0$.

الآن، نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذور للمعادلات التربعية:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(1)(24)}}{2(1)}$.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 96}}{2}$.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{-47}}{2}$.

لكن لا يوجد جذر حقيقي للعدد السالب تحت الجذر، لذلك المعادلة لا تقبل حلاً حقيقياً.

إذًا، لا يمكننا الحصول على قيمة حقيقية لسرعة جي بناءً على المعطيات المعطاة.

بالتأكيد، سنستكمل تفصيل الحل للمسألة. سنستخدم القوانين المتعلقة بالسرعة والمسافة لحساب الحل.

لنقم بمتابعة الحسابات:

نقوم بتعريف سرعة جي بـ $x$ كيلومتر في الساعة وسرعة بي بـ $y$ كيلومتر في الساعة.

نعلم أن $x > y$ وأن $x + y = 7$.

نستخدم قانون السرعة ($السرعة = المسافة / الوقت$) لحساب الوقت الذي يحتاجه كل من جي وبي لقطع المسافة:

$الوقت = \frac{المسافة}{السرعة}$

لجي: $\frac{24}{x}$ ساعة

لبي: $\frac{24}{y}$ ساعة

ونعلم أيضًا أن مجموع الوقتين هو 14 ساعة:

$\frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 14$

نريد الآن حساب قيمة $y$ من المعادلة $x + y = 7$، لذا نطرح $x$ منها:

$y = 7 – x$

الآن، نستخدم قيمة $y$ في المعادلة $\frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 14$ للحصول على قيمة $x$.

$\frac{24}{x} + \frac{24}{7 – x} = 14$

نضرب كل جانب في $\frac{x(7 – x)}{24}$ لتجنب الكسور:

$x(7 – x) + 24 = 14x$

نطوّر المعادلة:

$7x – x^2 + 24 = 14x$

نرتب المعادلة بحيث يكون لدينا معادلة تربعية:

$x^2 – 7x + 24 = 0$

نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذور للمعادلات التربعية:

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(1)(24)}}{2(1)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 96}}{2}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{-47}}{2}$

لكن لا يوجد جذر حقيقي للعدد السالب تحت الجذر، لذا المعادلة لا تقبل حلاً حقيقياً.

القوانين المستخدمة:

1. قانون السرعة: السرعة = المسافة / الوقت
2. معادلة الحركة الأولى: $الوقت = \frac{المسافة}{السرعة}$

الناتج:
بسبب عدم وجود حلاً حقيقيًا للمعادلة التربعية، لا يمكننا حساب قيمة حقيقية لسرعة جي بناءً على المعطيات المعطاة.