مخروط قائم الزاوية: حسابات وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المخروط الذي يمكن تكوينه من قطاع دائرة بزاوية $252^{\circ}$ وشعاع الدائرة يكون X، والمطلوب تحديد الخيار الصحيح الذي يصف هذا المخروط بالشكل الصحيح.

لحساب المخروط، يمكننا استخدام القواعد التالية:

1. قاعدة المخروط: $r = X$
2. الطول الجانبي (الميل): يتم استخدام زاوية القطاع لحساب الطول الجانبي بواسطة العلاقة: $l = r\theta$, حيث $\theta$ هي الزاوية بالراديان.
3. الارتفاع: يمكننا استخدام الزاوية والشعاع لحساب الارتفاع باستخدام الدوال الجيبية. في هذه الحالة، سنستخدم الجيب لحساب الارتفاع: $h = r \cos(\theta/2)$.

الآن سنقوم بحساب القيم المختلفة ومقارنتها مع الخيارات المعطاة:

1. الزاوية بالراديان: $\theta = \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi$.

2. القاعدة: $r = X$.

3. الطول الجانبي: $l = X \times \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi$.

4. الارتفاع: $h = X \cos\left(\frac{252^\circ}{360^\circ} \pi\right)$.

الخيارات:

أ. قاعدة = 6، الميل = 10
ب. قاعدة = 6، الارتفاع = 10
ج. قاعدة = 7، الميل = 10
د. قاعدة = 7، الارتفاع = 10
هـ. قاعدة = 8، الميل = 10

الآن سنحسب القيم ونقارن:

أ. $X = 6$, $l = 6 \times \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi \approx 26.18$, $h = 6 \cos\left(\frac{252^\circ}{360^\circ} \pi\right) \approx 4.90$.

ب. $X = 6$, $l = 6 \times \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi \approx 26.18$, $h = 6 \cos\left(\frac{252^\circ}{360^\circ} \pi\right) \approx 4.90$.

ج. $X = 7$, $l = 7 \times \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi \approx 30.62$, $h = 7 \cos\left(\frac{252^\circ}{360^\circ} \pi\right) \approx 5.67$.

د. $X = 7$, $l = 7 \times \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi \approx 30.62$, $h = 7 \cos\left(\frac{252^\circ}{360^\circ} \pi\right) \approx 5.67$.

هـ. $X = 8$, $l = 8 \times \frac{252^\circ}{180^\

لحساب الخيار الصحيح، سنستخدم القوانين التي تتعلق بمخروط قائم الزاوية مشكل من قطاع دائرة بزاوية $252^{\circ}$ من دائرة نصف قطرها $X$. سنستخدم القوانين التالية:

1. قاعدة المخروط: القاعدة تكون دائرة، ونعلم أن نصف قطر الدائرة يكون نفس طول الضلع القائم للمثلث الذي يكون المخروط جزءًا منه. لذا، القاعدة ستكون بطول $X$.

2. الميل (الطول الجانبي): يمكن حساب الميل باستخدام زاوية القطاع وشعاع الدائرة. العلاقة هي $l = r\theta$ حيث $r$ هو شعاع الدائرة و$\theta$ هو زاوية القطاع. في هذه الحالة، $l = X \times \frac{252^\circ}{180^\circ} \pi$.

3. الارتفاع: يمكن حساب الارتفاع باستخدام دالة الجيب. في هذه الحالة، نستخدم $\cos(\frac{\theta}{2})$. لذلك، $h = X \cos\left(\frac{252^\circ}{360^\circ} \pi\right)$.

الخيارات:

أ. قاعدة = 6، الميل = 10
ب. قاعدة = 6، الارتفاع = 10
ج. قاعدة = 7، الميل = 10
د. قاعدة = 7، الارتفاع = 10
هـ. قاعدة = 8، الميل = 10

الآن سنحسب القيم ونقارن:

أ. $X = 6$, $l \approx 26.18$, $h \approx 4.90$.

ب. $X = 6$, $l \approx 26.18$, $h \approx 4.90$.

ج. $X = 7$, $l \approx 30.62$, $h \approx 5.67$.

د. $X = 7$, $l \approx 30.62$, $h \approx 5.67$.

هـ. $X = 8$ (قاعدة غير معروفة).

من الخيارات المعطاة، يظهر أن الخيار ج هو الصحيح حيث أن قاعدة المخروط هي 7 والميل هو 10.