محدد المصفوفة للإسقاط: حساب وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد حساب محدد المصفوفة $\mathbf{P}$ التي تمثل الإسقاط على القطار $\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$.

الحل:

للعثور على محدد المصفوفة $\mathbf{P}$، نحتاج إلى بناء المصفوفة التي تمثل الإسقاط أولاً. الإسقاط على القطار $\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$ يمكن تمثيله بمصفوفة التالية:

$\mathbf{P} = \frac{\mathbf{vv}^T}{\|\mathbf{v}\|^2}$

حيث أن $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$ هو القطار الذي نريد الإسقاط عليه، و $\|\mathbf{v}\|$ هو طول هذا القطار.

لحساب طول القطار، نستخدم الصيغة:

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

الآن، نحسب المصفوفة $\mathbf{P}$ باستخدام الصيغة المذكورة:

$\mathbf{P} = \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -7 \end{pmatrix}}{65}$

$= \frac{1}{65} \begin{pmatrix} 16 & -28 \\ -28 & 49 \end{pmatrix}$

الآن، لحساب محدد هذه المصفوفة، نستخدم الصيغة التالية:

$\text{det}(\mathbf{P}) = \frac{1}{65} \left(16 \times 49 – (-28) \times (-28)\right)$

$= \frac{1}{65} (784 – 784) = \frac{1}{65} \times 0 = 0$

لذا، محدد المصفوفة $\mathbf{P}$ هو $0$.

في هذه المسألة، نحاول حساب محدد المصفوفة $\mathbf{P}$ التي تمثل الإسقاط على القطار $\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \end{pmatrix}$. يمكننا حل هذه المسألة باستخدام عدة خطوات وقوانين من الجبر الخطي:

1. مصفوفة الإسقاط (Projection Matrix):
   للعثور على مصفوفة الإسقاط $\mathbf{P}$، نستخدم الصيغة:
   $\mathbf{P} = \frac{\mathbf{vv}^T}{\|\mathbf{v}\|^2}$
   حيث $\mathbf{v}$ هو القطار الذي نريد الإسقاط عليه، $\|\mathbf{v}\|$ هو طول القطار، و $\mathbf{vv}^T$ هو الناتج من ضرب القطار في تحويلته.

2. حساب طول القطار (Magnitude of the Vector):
   لحساب طول القطار $\mathbf{v}$، نستخدم الصيغة:
   $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$
   حيث $v_1$ و $v_2$ هما مكونات القطار.

3. حساب محدد المصفوفة (Determinant of the Matrix):
   يتم حساب محدد المصفوفة بالطريقة العادية باستخدام قاعدة تشارلز ولي وتعريف محدد المصفوفة.

الآن، بعد توضيح الخطوات والقوانين المستخدمة، يمكننا القيام بالحسابات:

1. حساب طول القطار $\mathbf{v}$:
   $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

2. بناء مصفوفة الإسقاط $\mathbf{P}$:
   $\mathbf{P} = \frac{1}{65} \begin{pmatrix} 16 & -28 \\ -28 & 49 \end{pmatrix}$

3. حساب محدد المصفوفة:
   $\text{det}(\mathbf{P}) = \frac{1}{65} \left(16 \times 49 – (-28) \times (-28)\right)$
   $= \frac{1}{65} (784 – 784) = \frac{1}{65} \times 0 = 0$

بهذا، نجد أن محدد المصفوفة $\mathbf{P}$ هو $0$، وهو يعكس أن الإسقاط الناتج عن هذه المصفوفة هو إسقاط متوازٍ مع الصفر، أو بمعنى آخر، هو إسقاط ذو بُعد أقل.