مجموع مربعي الحلول: حساب وتطبيقات (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد مجموع مربعي الحلول للمعادلة التربيعية التالية: $x^2 – 13x + 4 = 0$.

أولاً، سنستخدم الصيغة العامة لحساب الجذور للمعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$:
$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

بالنسبة للمعادلة $x^2 – 13x + 4 = 0$:
$a = 1, \quad b = -13, \quad c = 4$

نعوض قيم $a$, $b$, و $c$ في الصيغة العامة:
$x = \frac{{-(-13) \pm \sqrt{{(-13)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4}}}}{{2 \cdot 1}}$
$x = \frac{{13 \pm \sqrt{{169 – 16}}}}{2}$
$x = \frac{{13 \pm \sqrt{153}}}{2}$

الآن نحتاج إلى حساب قيمة $\sqrt{153}$، وهي ليست عددًا صحيحًا.

لكننا يمكننا ترك الجذر على هذا الشكل ونستخدمه في الحسابات اللاحقة.

الآن لدينا اثنين من الجذور:
$x_1 = \frac{{13 + \sqrt{153}}}{2}, \quad x_2 = \frac{{13 – \sqrt{153}}}{2}$

لحساب مربع الجذر $\sqrt{153}$، سنحتاج إلى تقريبه، لكن لأغراض الحساب سنستمر باستخدام الجذر كما هو.

الآن، نريد حساب مجموع مربعي الجذور $x_1$ و $x_2$:
$x_1^2 = \left(\frac{{13 + \sqrt{153}}}{2}\right)^2$
$x_2^2 = \left(\frac{{13 – \sqrt{153}}}{2}\right)^2$

سنحسب هذه القيم:

$x_1^2 = \left(\frac{{13^2 + 2 \cdot 13 \cdot \sqrt{153} + 153}}{4}\right)$
$x_2^2 = \left(\frac{{13^2 – 2 \cdot 13 \cdot \sqrt{153} + 153}}{4}\right)$

بعد الحساب، سنجد قيم $x_1^2$ و $x_2^2$، ثم سنقوم بجمعهما للحصول على المجموع النهائي لمربعي الحلول.

بالتالي، يصبح المجموع النهائي:
$x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{{13^2 + 2 \cdot 13 \cdot \sqrt{153} + 153}}{4}\right) + \left(\frac{{13^2 – 2 \cdot 13 \cdot \sqrt{153} + 153}}{4}\right)$

سنحسب هذه القيم ونجمعها للحصول على المجموع النهائي.

لحل مسألة مجموع مربعي الحلول للمعادلة التربيعية $x^2 – 13x + 4 = 0$، سنتبع الخطوات التالية:

1. تحديد قيم معاملات المعادلة: المعادلة $x^2 – 13x + 4 = 0$ لديها قيم $a = 1$، $b = -13$، و $c = 4$.

2. استخدام الصيغة العامة للجذر التربيعي: نستخدم الصيغة العامة $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$ للعثور على الجذور.

3. حساب قيم الجذور: نعوض قيم $a$، $b$، و $c$ في الصيغة العامة للجذر للعثور على القيم المحتملة للجذور.

4. تقريب الجذور إذا لزم الأمر: إذا كان الجذر غير قابل للتمثيل بشكل دقيق، نقوم بتقريب قيمته لأقرب قيمة ممكنة.

5. حساب مربع الجذر: نربع كل جذر للعثور على مربعي الجذور.

6. جمع مربعي الجذور: نجمع مربعي الجذور للحصول على المجموع النهائي.

7. استخدام القوانين الجبرية: نستخدم قوانين الجبر مثل قانون الأعداد الصحيحة والجذور لحل وتبسيط التعابير.

8. التعامل مع الأعداد الحقيقية والمركبة: نحل المعادلة ونتأكد من أن الجذور هي أعداد حقيقية وليست مركبة.

9. التحقق من الحلول: نتحقق من صحة الحلول ونتأكد من أنها تلبي المعادلة الأصلية.

باستخدام هذه الخطوات، يمكننا حل المعادلة التربيعية والعثور على مجموع مربعي الحلول. يجب أن نكون دقيقين في الحسابات واستخدام القوانين الجبرية بشكل صحيح للوصول إلى الحل الصحيح.