مجموع مربعات أعداد فردية إيجابية (مسألة رياضيات)

ما هو الرقم الوحدات لمجموع مربعات أول 2007 عدد فردي وموجب؟

لنحسب المجموعة المطلوبة:

أولاً، نحتاج إلى معرفة ماهي الأعداد الفردية والموجبة الأولى 2007 عددًا. لدينا أن الأعداد الفردية تكون بالتتابع، ولتحديد الأعداد الفردية، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$2n – 1$

حيث $n$ يمثل العدد الذي نبدأ منه.

الآن، لنقم بتوليد أول 2007 عدد فردي:

$n = 1, 2, 3, …, 2007$

لنحسب المربع لكل عدد فردي، ومن ثم قم بجمعها:

$1^2 + 3^2 + 5^2 + … + (2 \times 2007 – 1)^2$

حيث $2 \times 2007 – 1 = 4013$.

الآن سنقوم بحساب المربع لكل عدد فردي، ومن ثم جمعها معًا.

$1^2 = 1$
$3^2 = 9$
$5^2 = 25$
$…$
$4013^2$

لحساب الأعداد في الآحاد، نحتاج فقط إلى النظر إلى الرقم الآخر في المربع. سنلاحظ أن الأعداد 1 و 9 و 5 و 3 يكون الرقم في الآحاد هو 1 و 9 و 5 و 9 بالتتابع. هذا يعني أن النمط يعيد نفسه كل 4 مرات.

الآن، لحساب مجموع الأرقام في الآحاد، يكون الأمر بسيطًا. 2007 مقسوماً على 4 يعطي 501 والباقي 3. لذا، نحتاج إلى مجموع 501 دورة كاملة (التي تعطي 5) بالإضافة إلى المتبقي (الذي يكون 9).

لذا المجموع المطلوب هو:

$501 \times 5 + 9 = 2505 + 9 = 2514$

الآن، نحن بحاجة إلى الرقم الوحدات لهذا المجموع. هو الرقم 4.

لحل مسألة مجموع مربعات أول 2007 عدد فردي وموجب، يمكننا استخدام بعض القوانين الرياضية والملاحظات:

1. الأعداد الفردية والموجبة: نحن نعلم أن الأعداد الفردية هي تلك التي تبدأ من 1 وتتزايد بمقدار 2، وذلك بواسطة الصيغة $2n – 1$ حيث $n$ هو عدد الفردية.

2. مربع العدد الفردي: مربع أي عدد فردي يمكن حسابه ببساطة باستخدام القاعدة $(2n – 1)^2 = 4n^2 – 4n + 1$.

3. مجموع مربعات الأعداد الفردية: مجموع مربعات الأعداد الفردية الأولى $n$ يمكن حسابها باستخدام الصيغة التالية:

4. التوجيه لحساب الأرقام في الآحاد: عند حساب الأرقام في الآحاد من مربعات الأعداد الفردية، نتبع النمط الذي يتكرر كل 4 مرات: 1، 9، 5، 9. هذا يعني أنه بمجرد أن نعرف النمط، يمكننا حساب الأرقام في الآحاد بسهولة.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع الآن حل المسألة بشكل أكثر تفصيلًا:

1. نحتاج إلى حساب مجموع مربعات الأعداد الفردية الأولى 2007. لذا، نقوم بتعيين $n = 2007$ في الصيغة التي تعطي مجموع مربعات الأعداد الفردية.

2. نستخدم الصيغة:

3. بعد الحساب، سنحصل على المجموع الإجمالي لمربعات الأعداد الفردية.

4. ثم، نحسب الرقم الوحدات لهذا المجموع ببساطة بجمع جميع الأرقام في الآحاد واستخراج الرقم الوحدات للناتج.

هذا النهج يستند إلى القوانين الرياضية الأساسية والملاحظات التي تبسط عملية حل المسألة وتقلل من الخطأ البشري.