مجموع محيطات مربعين (مسألة رياضيات)

مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه، ومحيطه يساوي مجموع جميع أضلاعه. مجموع مساحتي مربعين يساوي 65، في حين أن الفرق بين مساحتيهما يساوي 33. لنحدد مجموع محيطيهما.

فلنفترض أن لدينا مربعين، ولتكن $x$ و $y$ هما طول أضلاعهما بالترتيب. بالنظر إلى المعطيات المعطاة في المسألة، يمكننا كتابة المعادلات التالية:

1. للمساحة:
   $x^2 + y^2 = 65$
2. للفرق في المساحة:
   $|x^2 – y^2| = 33$

الآن، سنحل هذه المعادلات للعثور على قيم $x$ و $y$، ثم سنقوم بحساب مجموع محيطي المربعين.

لنبدأ بحل المعادلات:

من المعادلة الأولى، يمكننا استخدام تقنية الاستبعاد لحلّها. لنقوم بتبديل قيمة $y^2$ في المعادلة الثانية باستخدام $65 – x^2$ من المعادلة الأولى:

$|x^2 – (65 – x^2)| = 33$
$|2x^2 – 65| = 33$

هذه المعادلة قابلة للحل بسهولة:

1. عند $2x^2 – 65 = 33$، يعطي $x^2 = \frac{33+65}{2} = 49$، وبالتالي $x = 7$ (لأن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا).
2. عند $2x^2 – 65 = -33$، يعطي $x^2 = \frac{-33+65}{2} = 16$، وبالتالي $x = 4$ (مرة أخرى، الطول لا يمكن أن يكون سالبًا).

لذا، لدينا حالتين:

1. عند $x = 7$، يعطي $y = \sqrt{65 – 7^2} = \sqrt{14}$،
2. عند $x = 4$، يعطي $y = \sqrt{65 – 4^2} = \sqrt{49} = 7$.

الآن لدينا الأطوال: $x = 7$ و $y = \sqrt{14}$ أو $x = 4$ و $y = 7$.

لحساب مجموع المحيطات، يجب علينا إضافة أطوال الأضلاع الأربعة لكل مربع، وهي $4x$ و $4y$ بالترتيب:

1. عند $x = 7$ و $y = \sqrt{14}$، المحيط = $4(7) + 4(\sqrt{14})$
2. عند $x = 4$ و $y = 7$، المحيط = $4(4) + 4(7)$

حساب القيم:

1. عند $x = 7$، المحيط = $28 + 4\sqrt{14}$
2. عند $x = 4$، المحيط = $16 + 28 = 44$

لذا، مجموع المحيطات يكون إما $28 + 4\sqrt{14} + 44$ أو $44$ والذي يكون حوالي 72.416.

في هذه المسألة، نعتمد على مفاهيم الجبر والهندسة الهندسة البسيطة. نستخدم القوانين التالية في حل المسألة:

1. مفهوم المربع: نعلم أن جميع زوايا المربع متساوية القياس، وكل ضلع يملك نفس الطول.
2. مساحة المربع: المساحة تساوي طول الضلع مربعًا. يتم حساب المساحة باستخدام العملية الحسابية $الطول \times الطول = المساحة$.
3. محيط المربع: يتم حساب المحيط باستخدام العملية الحسابية $الطول \times 4 = المحيط$.
4. مفهوم الفرق والمجموع: يستخدم لحساب الفرق بين مساحتين وجمعهما.

الآن، لنقم بتحليل المسألة:

لنفترض أن لدينا مربعين مع أطوال الأضلاع $x$ و$y$ بالترتيب. نقوم بتكوين المعادلات التالية استنادًا إلى الشروط المعطاة في المسألة:

1. للمساحة:
   $x^2 + y^2 = 65$
2. للفرق في المساحة:
   $|x^2 – y^2| = 33$

نقوم بحل المعادلات:

أولاً، نحاول حساب قيم $x$ و $y$ بحل المعادلات. من المعادلة الأولى، يمكننا استخدام تقنية الاستبعاد لحلها.

نحل المعادلة الثانية:

$|x^2 – (65 – x^2)| = 33$
$|2x^2 – 65| = 33$

الآن، لنقم بحساب قيم $x$ من المعادلة $|2x^2 – 65| = 33$:

1. عند $2x^2 – 65 = 33$، يُعطي $x^2 = \frac{33+65}{2} = 49$، وبالتالي $x = 7$ (لأن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا).
2. عند $2x^2 – 65 = -33$، يُعطي $x^2 = \frac{-33+65}{2} = 16$، وبالتالي $x = 4$ (مرة أخرى، الطول لا يمكن أن يكون سالبًا).

بعد حساب القيم لـ $x$، نستخدمها لحساب قيم $y$ بالاستعاضة في المعادلة الأولى.

الآن، بعد حساب قيم $x$ و $y$، نقوم بحساب مجموع المحيطات. يتم ذلك بإضافة أطوال الأضلاع الأربعة لكل مربع، وهي $4x$ و $4y$ بالترتيب.

حسب القيم التي تم حسابها:

1. عند $x = 7$، المحيط = $4(7) + 4(\sqrt{14})$
2. عند $x = 4$، المحيط = $4(4) + 4(7)$

بعد حساب المحيطات للحالتين، يمكننا إجراء العملية الحسابية للوصول إلى الجواب النهائي.