مجموع لوغاريتمات الأعداد الصحيحة. (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التابع $f(n)$ للأعداد الصحيحة الإيجابية $n$. التابع $f(n)$ معرف بالشكل التالي:

$f(n) = \log_{2002} n^2$

والآن، نريد حساب قيمة $f(11) + f(13) + f(14)$.

لنقم بتفكيك العملية خطوة بخطوة:

1. $f(11)$:
   $f(11) = \log_{2002} 11^2$

2. $f(13)$:
   $f(13) = \log_{2002} 13^2$

3. $f(14)$:
   $f(14) = \log_{2002} 14^2$

الآن لنقم بحساب قيمة كل من $f(11)$، $f(13)$، و $f(14)$ ومن ثم جمعها:

1. $f(11)$:
   $f(11) = \log_{2002} 11^2 = \log_{2002} 121$

2. $f(13)$:
   $f(13) = \log_{2002} 13^2 = \log_{2002} 169$

3. $f(14)$:
   $f(14) = \log_{2002} 14^2 = \log_{2002} 196$

الآن نقوم بجمع القيم:

$f(11) + f(13) + f(14) = \log_{2002} 121 + \log_{2002} 169 + \log_{2002} 196$

نستخدم قاعدة اللوغاريتمات التي تقول:
$\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)$

بالتالي:
$f(11) + f(13) + f(14) = \log_{2002} (121 \times 169 \times 196)$

الآن نقوم بحساب القيمة في القوس:
$121 \times 169 \times 196 = 2560368$

إذاً:
$f(11) + f(13) + f(14) = \log_{2002} 2560368$

وهذه هي القيمة النهائية للمعادلة المطلوبة.

لحل مسألة $f(n) = \log_{2002} n^2$ ومن ثم حساب قيمة $f(11) + f(13) + f(14)$، سنقوم بتطبيق بعض القوانين والخوارزميات الرياضية المعروفة.

قبل البدء في الحل، دعونا نستعرض بعض القوانين والمفاهيم المستخدمة:

1. قوانين اللوغاريتمات:

   • $\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$
   • $\log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m – \log_a n$
   • $\log_a (m^n) = n \cdot \log_a m$

2. تعريف اللوغاريتم:

   • إذا كان $\log_a x = b$، فهذا يعني أن $a^b = x$.

3. قاعدة التبديل للقواعد:

   • يمكن تبديل قاعدة اللوغاريتم من قاعدة $a$ إلى قاعدة $b$ بالصيغة التالية:
     $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

الآن، سنقوم بحساب $f(11) + f(13) + f(14)$ باستخدام القوانين المذكورة:

1. حساب $f(11)$:
   $f(11) = \log_{2002} 11^2$
   $= 2 \cdot \log_{2002} 11$

2. حساب $f(13)$:
   $f(13) = \log_{2002} 13^2$
   $= 2 \cdot \log_{2002} 13$

3. حساب $f(14)$:
   $f(14) = \log_{2002} 14^2$
   $= 2 \cdot \log_{2002} 14$

الآن، بما أننا نريد قيمة $f(11) + f(13) + f(14)$، يمكننا جمع اللوغاريتمات معًا:
$f(11) + f(13) + f(14) = 2 \cdot (\log_{2002} 11 + \log_{2002} 13 + \log_{2002} 14)$

$= 2 \cdot \log_{2002} (11 \times 13 \times 14)$

$= 2 \cdot \log_{2002} 2002$

$= 2$

وهذه هي القيمة النهائية للتعبير $f(11) + f(13) + f(14)$ باستخدام القوانين المذكورة.