مجموع جذور معادلة تربيعية: الحل والتفسير (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما مجموع الجذور للمعادلة $(x – 5)^2 = 9$؟

الحل:
لحل هذه المعادلة، نحتاج أولاً إلى تحويلها إلى شكل قياسي للمعادلة التربيعية، وذلك عن طريق استخدام الجذر التربيعي لكلا الجانبين من المعادلة.

$(x – 5)^2 = 9$

نأخذ الجذر التربيعي للجانبين:

$\sqrt{(x – 5)^2} = \sqrt{9}$

هناك نقطة يجب مراعاتها، وهي أننا بحاجة إلى حل المعادلة بمراعاة إشارة الجذر، لذلك سنأخذ بالاعتبار الجذر الموجب والجذر السالب.

لحساب الجذر التربيعي للجذر الموجب، فإنه يتم ببساطة كما يلي:

$(x – 5) = \pm 3$

لنفصل الحالتين:

1. عندما نأخذ القيمة الموجبة للجذر:

$x – 5 = 3$

نضيف 5 لكلا الجانبين:

$x = 3 + 5$

$x = 8$

2. عندما نأخذ القيمة السالبة للجذر:

$x – 5 = -3$

نضيف 5 لكلا الجانبين:

$x = -3 + 5$

$x = 2$

بالتالي، لدينا جذرين هما $x = 8$ و $x = 2$.

لحساب مجموع الجذور، نقوم بجمع القيمتين معًا:

$8 + 2 = 10$

إذاً، مجموع الجذور للمعادلة $(x – 5)^2 = 9$ هو 10.

لحل مسألة مجموع الجذور للمعادلة $(x – 5)^2 = 9$، نحتاج إلى اتباع خطوات محددة واستخدام بعض القوانين الأساسية في الجبر.

1. تحويل المعادلة إلى شكل قياسي:
   يتضمن هذا الخطوات مثل استخدام الجذور لكلا الجانبين من المعادلة.

2. استخدام قوانين الجذور:
   عند أخذ الجذر التربيعي، نحتاج إلى مراعاة الجذر الموجب والجذر السالب.

3. حل المعادلة:
   بعد تحويل المعادلة إلى شكل قياسي، نقوم بحل المعادلة الناتجة للحصول على القيمة الصحيحة للمتغير.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

1. تحويل المعادلة إلى شكل قياسي:
   نستخدم قاعدة الجذر التربيعي لكلا الجانبين من المعادلة:

   $$\sqrt{(x – 5)^2} = \sqrt{9}$$

   حيث نراعي الجذر الموجب والجذر السالب.

2. استخدام قوانين الجذور:
   نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين:

   $$x – 5 = \pm 3$$

3. حل المعادلة:

   • عند اختيار الجذر الموجب:
     $$x – 5 = 3 \implies x = 3 + 5 = 8$$
   • عند اختيار الجذر السالب:
     $$x – 5 = -3 \implies x = -3 + 5 = 2$$

4. حساب مجموع الجذور:
   نجمع القيمتين التي حصلنا عليها:

   $$8 + 2 = 10$$

وبالتالي، نجد أن مجموع الجذور للمعادلة $(x – 5)^2 = 9$ هو 10.

بهذه الطريقة، استخدمنا القوانين الأساسية للجبر مثل قوانين الجذور وحسابات الأعداد لحل المسألة.