مجموع المتتابعة الهندسية: حساب وتطبيقات (مسألة رياضيات)

المتتابعة الهندسية المعطاة: $-1 + 2 – 4 + 8 – \cdots + 512$

نريد حساب مجموع هذه المتتابعة الهندسية. للقيام بذلك، نحتاج إلى معرفة القيمة الأولى ($a_1$) ونسبة التناسب ($r$) بين الأعضاء المتتالية.

القيمة الأولى ($a_1$) هي $-1$، ونسبة التناسب ($r$) هي كل عنصر يتضاعف مقارنة بالعنصر السابق، لذا $r = 2$.

لنجد عدد العناصر في المتتابعة. نعرف أن العنصر الأخير هو $512$. لكي نعرف كم عدد العناصر، نجد قوة الـ $2$ في $512$، ونرى أنها $9$. إذاً، هناك $9$ عناصر في المتتابعة.

لنستخدم الصيغة العامة لمجموع المتتابعة الهندسية:
$S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1}$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع أول $n$ عناصر في المتتابعة.
• $a_1$ هو العنصر الأول في المتتابعة.
• $r$ هو نسبة التناسب بين العناصر المتتالية.
• $n$ هو عدد العناصر في المتتابعة.

والآن نستبدل القيم في الصيغة:
$S_9 = \frac{-1(2^9 – 1)}{2 – 1}$

$S_9 = \frac{-1(512 – 1)}{1}$

$S_9 = \frac{-1(511)}{1}$

$S_9 = -511$

إذاً، مجموع المتتابعة الهندسية المعطاة هو $-511$.

لحساب مجموع المتتابعة الهندسية، استخدمنا الصيغة العامة للمجموع:

$S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1}$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع أول $n$ عناصر في المتتابعة.
• $a_1$ هو العنصر الأول في المتتابعة.
• $r$ هو نسبة التناسب بين العناصر المتتالية.
• $n$ هو عدد العناصر في المتتابعة.

في هذه المسألة:

• $a_1 = -1$، وهو العنصر الأول.
• $r = 2$، وهو نسبة التناسب بين العناصر المتتالية.
• $n = 9$، وهو عدد العناصر في المتتابعة.

نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة ونحسب:

$S_9 = \frac{-1(2^9 – 1)}{2 – 1}$

نقوم بتفكيك الأسس والحساب:

$S_9 = \frac{-1(512 – 1)}{1}$

$S_9 = \frac{-1(511)}{1}$

$S_9 = -511$

تمثل هذه العمليات استخدام قانون مجموع المتتابعة الهندسية. يمكن تلخيص القوانين المستخدمة في الحل كالتالي:

1. صيغة مجموع المتتابعة الهندسية:
   $S_n = \frac{a_1(r^n – 1)}{r – 1}$

2. تحديد القيم:

   • $a_1$ هو العنصر الأول.
   • $r$ هو نسبة التناسب بين العناصر المتتالية.
   • $n$ هو عدد العناصر في المتتابعة.

3. تعويض القيم والحساب:
   نستخدم القيم المعطاة في الصيغة لحساب مجموع المتتابعة.

هذا الحل يعتمد على المفاهيم الرياضية والقوانين الهندسية لحل المسألة بطريقة دقيقة ومفصلة.