مجموع أعداد تتابعية ذات أس في الفهم العددي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو مجموع التالي: $(-1)^{-10} + (-1)^{-9} + (-1)^{-8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10}$، حيث يوجد مجموع 21 عنصرًا بالكامل، يتراوح كل عنصر بين -10 و 10؟

الحل:
نتذكر أن $(-1)^n$ يكون 1 إذا كان $n$ عددًا زوجيًا ويكون -1 إذا كان $n$ عددًا فرديًا. في هذه الحالة، لدينا مجموع من 21 عنصرًا، لذلك العناصر الزوجية ستكون مساوية للواحد، بينما العناصر الفردية ستكون مساوية للسالب واحد.

لنحسب عدد العناصر الفردية والزوجية:
عدد العناصر الفردية = عدد الأعداد الفردية بين -10 و 10 = 5 أعداد فردية
عدد العناصر الزوجية = عدد الأعداد الزوجية بين -10 و 10 = 6 أعداد زوجية

الآن نقوم بحساب المجموع:
$(-1)^{-10} + (-1)^{-9} + (-1)^{-8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10} = (-1)^1 + (-1)^3 + \cdots + (-1)^{19} – (-1)^0 – (-1)^2 – \cdots – (-1)^{18}$

نعلم أن كل عنصر زوجي يكون -1 وكل عنصر فردي يكون 1، لذا المجموع يكون:
$= -1 – 1 – \cdots – 1 – 1 + 1 + \cdots + 1 + 1$

عدد العناصر هو 21 (6 عناصر زوجية و 5 عناصر فردية)، لذا نحصل على:
$= -6 + 5 = -1$

إذا كان المجموع المطلوب هو -1.

لحل هذه المسألة، نستفيد من بعض القوانين الرياضية المهمة. لنفصل الحل إلى خطوات لفهم أعمق:

1. تحديد العناصر الفردية والزوجية:

   • نستخدم الخاصية التي تقول إن $(-1)^n$ يكون 1 إذا كان $n$ عددًا زوجيًا ويكون -1 إذا كان $n$ عددًا فرديًا.

   • نعثر على العناصر ذات الأسس الفردية والزوجية في المجموع. في هذه المسألة، نجدها في الأسس -10، -9، -8،…، 10.

2. تحديد عدد العناصر:

   • نحسب عدد العناصر الفردية والزوجية. في هذه المسألة، كان هناك 6 أعداد زوجية و 5 أعداد فردية.

3. تطبيق الخصائص:

   • نستخدم الخاصية التي تقول إن إجمالي الأعداد ذات الأس الفردي يكون 1، بينما إجمالي الأعداد ذات الأس الزوجي يكون -1.

   • نقوم بجمع العناصر الفردية ونحسب المجموع النهائي.

4. الحساب:

   • نقوم بحساب المجموع باستخدام الخصائص المذكورة.

حل المسألة:

$(-1)^{-10} + (-1)^{-9} + (-1)^{-8} + \cdots + (-1)^9 + (-1)^{10} = (-1)^1 + (-1)^3 + \cdots + (-1)^{19} – (-1)^0 – (-1)^2 – \cdابتساميل – (-1)^{18}$

$= -1 – 1 – \cdots – 1 – 1 + 1 + \cdots + 1 + 1$

5. الناتج:
   • نحصل على مجموع -1.

في هذا الحل، تم استخدام القوانين التي تحدد قيم $(-1)^n$ حسب طبيعة العدد $n$، وتم تطبيق هذه القوانين لتحديد العناصر الفردية والزوجية وحساب المجموع النهائي. القوانين المستخدمة تعتمد على الخواص الجبرية للأعداد.