مجال وظيفة الكسور الجبرية (مسألة رياضيات)

الدالة: $y = \frac{x^3 – 27}{x + 27}$

المطلوب: تحديد المجال القيم للدالة.

الحل:
نبدأ بحساب المجال المحتمل للدالة، وهو جميع الأعداد التي لا تجعل المقام يساوي صفرًا، لأن تجعل قيمة $x$ تساوي $-27$ ستجعل المقام يساوي صفرًا، وهو ما يُحدث تعارضًا في العملية الحسابية.

لذا، نقوم بحل المعادلة $x + 27 = 0$ لنجد القيمة التي تجعل المقام يساوي صفرًا.

$x = -27$

الآن، يجب عدم تضمين قيمة $-27$ في المجال لأنها تجعل المقام يساوي صفرًا وتسبب في تعارض في العملية الحسابية.

لذا، المجال المسموح به للدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $-27$.

بالتالي، يمكننا تعبير المجال المسموح به باستخدام الرمزين $(-\infty, -27) \cup (-27, \infty)$ في تمثيل الفاصلة بين القيم المسموح بها والتي ليست مسموح بها على الدالة.

لحل مسألة تحديد مجال الدالة $y = \frac{x^3 – 27}{x + 27}$، نحتاج إلى مراجعة قوانين الحساب التحليلي والجبري وتطبيقها على الدالة المعطاة.

القوانين والأسس المستخدمة في الحل:

1. قانون القسمة: يحظر قسمة على الصفر، لأنه لا يمكن تعريف قيمة معقولة للناتج عن القسمة على الصفر.

الخطوات لحل المسألة:

1. تحديد القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا للدالة. في هذه الحالة، يجب أن نتجنب القيم التي تجعل المقام يساوي صفرًا لأنها تسبب في تعارض في العملية الحسابية.

   لذا، نقوم بحل المعادلة $x + 27 = 0$ للعثور على القيمة التي تجعل المقام يساوي صفرًا.

   $x = -27$

2. بعد ذلك، نستبعد القيمة $-27$ من المجال المسموح به للدالة لأنها تجعل المقام يساوي صفرًا وتسبب في تعارض في العملية الحسابية.

3. نكون قد تحديدنا أن المجال المسموح به للدالة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $-27$.

4. للتعبير عن ذلك بشكل دقيق، نستخدم الرموز والرموز الرياضية لتمثيل الفاصلة بين القيم المسموح بها والتي ليست مسموح بها على الدالة. وبالتالي، يمكن تعبير المجال المسموح به على شكل $(-\infty, -27) \cup (-27, \infty)$.

هذه الخطوات تعتمد على القوانين الجبرية والتحليلية للرياضيات، بما في ذلك قانون القسمة وتحديد المجالات المسموح بها للدوال.