مجال وحدود الدالة الهندسية (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة هي $f(t) = \frac{1}{(t-1)^2+(t+1)^2}$، ونحتاج إلى تحديد مجال الدالة.

نبدأ بمحاولة فهم الدالة والتعبير عنها بطريقة مفهومة. الدالة تتضمن مقاماً في البسط، وهذا المقام يكون أكبر من الصفر دائمًا بالنسبة لأي قيمة من $t$، لأنه يعبر عن مجموعين لمربعين (والمربع لا يمكن أن يكون سالباً). بالتالي، الدالة لا تتضمن أي عمليات تقسيم على الصفر، مما يعني أننا لا نواجه أي مشكلة في التعريف.

الآن، نحن بحاجة إلى معرفة القيم التي يمكن أن يأخذها $t$ بحيث لا تتسبب في تقسيم على صفر في الدالة. إذا قمنا بتحليل المقام $(t-1)^2 + (t+1)^2$، فإن أصغر قيمة يمكن أن يأخذها هذا المقام هي 0، وذلك عندما تكون $t = 1$ و $t = -1$ (لأنهما يمثلان أقل قيمتين للمربعات). ومن ثم، يمكن لـ $t$ أن يأخذ أي قيم في الوقت الذي لا تكون فيه هذه القيم.

للتعبير عن هذا بشكل رياضي، مجال الدالة يمكن أن يكون جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 1 و -1، ونستخدم علامة الاتحاد للتعبير عن ذلك.

لذا، المجال الذي يمكن أن يأخذه $t$ يكون:
$(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$

هذا هو المجال بالتفصيل في تعبيره بشكل الفتح والاغلاق، والذي يعبر عن جميع الأعداد الحقيقية ما عدا 1 و -1.

لحل مسألة تحديد مجال الدالة $f(t) = \frac{1}{(t-1)^2+(t+1)^2}$، نحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين الرياضية والمفاهيم.

1. فهم الدالة: نبدأ بفهم الدالة المعطاة. الدالة هنا هي كسر يحتوي على مقام يتكون من مجموع مربعين. هذا المقام يعبر عن مسافة نقطة $(t, 0)$ من نقطتين هما $(1, 0)$ و $(-1, 0)$ على المحور الأفقي.

2. مقام الدالة: المقام $(t-1)^2 + (t+1)^2$ هو مجموع المربعين. يمثل كل جزء منها المسافة المربعية بين $t$ والنقطة $(1, 0)$ وبين $t$ والنقطة $(-1, 0)$.

3. تحليل المقام: ندرس المقام لمعرفة القيم التي يمكن أن يأخذها $t$ بدون أن يتسبب في تقسيم على صفر. المقام يكون أكبر من الصفر لأي $t$ آخر غير $t = 1$ و $t = -1$، وهذا يعني أن الدالة سليمة ومعرفة لجميع القيم غير 1 و -1.

4. تحديد المجال: نستخدم علامة الاتحاد لدمج المجالات المتاحة لـ $t$. بما أن المجال يشمل جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 1 و -1، فإننا نستخدم الفتحات للتعبير عن ذلك.

5. تقديم الإجابة بشكل دقيق: نعبر عن المجال باستخدام علامة الاتحاد وعلامات الفتح والإغلاق بشكل صحيح.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم الرياضية، نستطيع تحديد مجال الدالة بدقة، مما يساعد في فهم سلوك الدالة واستخدامها في حسابات أخرى.