مجال دالة لوغاريتم متعددة. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي تحديد المجال (الدالة المعرف عليها) للدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى وضع الشروط التي يجب أن تتحقق ليكون الدالة معرفة في النقطة $x$ المعينة. بدايةً، لا يمكن للمدخل $x$ في اللوغاريتم أن يكون أقل من أو يساوي صفر. لذا، نبدأ بحل المعادلة:
$\log_4x > 0$

هذا يعني أن الأساس (4) يجب أن يكون أكبر من صفر. وبما أن الأساس (4) موجب، يكون المدخل $x$ أكبر من 0.

الآن، نقوم بتحليل اللوغاريتم الداخلي: $\log_3(\log_4x)$. لكي يكون هذا اللوغاريتم معرفًا، يجب أن يكون مدخله (التعبير داخل اللوغاريتم) أكبر من 0:
$\log_4x > 0$
$\Rightarrow \log_3(\text{{مدخل اللوغاريتم الداخلي}}) > 0$

هذا يعني أن $\text{{مدخل اللوغاريتم الداخلي}}$ يجب أن يكون أكبر من 1، لأن لوغاريتم الأساس 3 يكون معرفًا عندما يكون مدخله أكبر من 1.

أخيرًا، نقوم بتحليل اللوغاريتم الخارجي: $\log_2(\log_3(\log_4x))$. هنا نفس المبدأ، يجب أن يكون مدخل اللوغاريتم أكبر من 0:
$\log_3(\log_4x) > 0$
$\Rightarrow \log_2(\text{{مدخل اللوغاريتم الخارجي}}) > 0$

هذا يعني أن $\text{{مدخل اللوغاريتم الخارجي}}$ يجب أن يكون أكبر من 1، لأن لوغاريتم الأساس 2 يكون معرفًا عندما يكون مدخله أكبر من 1.

لخلاصة النقاش، نحن بحاجة إلى مدخل يكون أكبر من 1 في اللوغاريتمات الثلاثة. لذا، المجال المسموح به للدالة هو:
$x > 1$

وهذا هو المجال الذي يجعل الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$ معرفة.

لحل مسألة تحديد مجال الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$، نحتاج إلى فهم قوانين اللوغاريتم وشروطها.

1. قانون اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم عدد موجب أكبر من 1 يكون موجبًا. يعني هذا أن اللوغاريتم يكون معرفًا إذا كان المدخل أكبر من 1.

2. شرط معرفة اللوغاريتم: المدخل للوغاريتم يجب أن يكون موجبًا. أيضًا، في حالة اللوغاريتم الطبيعي، المدخل يجب أن يكون أكبر من صفر.

3. تأثير التدرج اللوغاريتمي: لوجود لوغاريتم داخل لوغاريتم، يجب أن يكون المدخل الخارجي أكبر من 1 لكي يجعل المدخل الداخلي معرفًا.

4. شرط معرفة الدالة: المدخل للدالة اللوغاريتمية يجب أن يكون موجبًا.

الآن، نقوم بتطبيق هذه القوانين على الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$:

الخطوة 1: نبدأ بتحليل اللوغاريتم الداخلي، $\log_4x$. يجب أن يكون مدخله موجبًا:
$\log_4x > 0$
$\Rightarrow x > 1$ (قانون اللوغاريتم)

الخطوة 2: الآن نحلل لوغاريتم الداخلي الثاني، $\log_3(\log_4x)$. يجب أن يكون مدخله أكبر من 1:
$\log_4x > 1$
$\Rightarrow x > 4$ (تأثير التدرج اللوغاريتمي)

الخطوة 3: الآن نحلل اللوغاريتم الخارجي، $\log_2(\log_3(\log_4x))$. يجب أن يكون مدخله أكبر من 1:
$\log_3(\log_4x) > 1$
$\Rightarrow \log_4x > 2$
$\Rightarrow x > 16$ (تأثير التدرج اللوغاريتمي)

الخطوة 4: لضمان معرفة الدالة نفسها، يجب أن يكون المدخل موجبًا:
$x > 0$

لخلاصة النقاش، نحن بحاجة إلى مدخل يكون أكبر من 1 في اللوغاريتمات الثلاثة، ويجب أيضًا أن يكون المدخل موجبًا. لذا، المجال المسموح به للدالة هو:
$x > 16$

وهذا هو المجال الذي يجعل الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$ معرفة.