مثلثات باردة: حلول وتحليلات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

تُسمى المثلث القائم الزاوية الذي يحمل أطوال أضلاع صحيحة “مثلثًا باردًا” إذا كان عدد وحدات المساحة فيه يساوي ضعف عدد الوحدات في مجموع أطوال أضلاعه. ما هو مجموع جميع المساحات الممكنة لمثلثات الزوايا القائمة الباردة؟

الحل:

لنقم بتحليل المسألة وفهم ما نطلبه. لنمثل أطوال أضلاع المثلث القائم بأعداد صحيحة، فلنفترض أن طول الضلع الأول يساوي $a$ وطول الضلع الثاني يساوي $b$ حيث $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة.

من خواص المثلث القائم، نعلم أن مساحته تساوي $\frac{1}{2} \times a \times b$. وحسب الشرط المعطى، فإن هذه المساحة تساوي ضعف مجموع أطوال الأضلاع، أي $2 \times (a + b)$.

لذا، لدينا المعادلة:
$\frac{1}{2} \times a \times b = 2 \times (a + b)$

نقوم بتحويل المعادلة لتصبح:
$a \times b = 4 \times (a + b)$

الآن، نبدأ في تحليل الحالات الممكنة. نجد أن $a$ و $b$ لا يمكن أن يكونا 0 لأننا نبحث عن أطوال صحيحة. بالتالي، نبدأ من 1.

نبدأ بتجربة القيم مع الإضلاع، مع تذكير بأن $a$ و $b$ يمثلان أطوال الأضلاع، وبالتالي يجب أن تكون الأطوال أعداد صحيحة وإيجابية.

نبدأ بتجربة $a = 1$، نجد $b = 4$، يعني المساحة تساوي $1 \times 4 = 4$ والمجموع $1 + 4 = 5$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 2$، نجد $b = 4$، يعني المساحة تساوي $2 \times 4 = 8$ والمجموع $2 + 4 = 6$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 3$، نجد $b = 6$، يعني المساحة تساوي $3 \times 6 = 18$ والمجموع $3 + 6 = 9$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 4$، نجد $b = 4$، يعني المساحة تساوي $4 \times 4 = 16$ والمجموع $4 + 4 = 8$. هنا يتحقق الشرط المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 5$، نجد $b = 8$، يعني المساحة تساوي $5 \times 8 = 40$ والمجموع $5 + 8 = 13$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 6$، نجد $b = 12$، يعني المساحة تساوي $6 \times 12 = 72$ والمجموع $6 + 12 = 18$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 7$، نجد $b = 28$، يعني المساحة تساوي $7 \times 28 = 196$ والمجموع $7 + 28 = 35$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 8$، نجد $b = 8$، يعني المساحة تساوي $8 \times 8 = 64$ والمجموع $8 + 8 = 16$. هنا يتحقق الشرط المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 9$، نجد $b = 36$، يعني المساحة تساوي $9 \times 36 = 324$ والمجموع $9 + 36 = 45$. لا تتطابق النتيجة مع المطلوب.

نبدأ بتجربة $a = 10$، نجد ( b =

بالطبع، دعني أوضح المسألة بشكل أكبر وأذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتعلق بالمثلثات القائمة ذات الأضلاع ذات الأطوال الصحيحة والتي يتم تسميتها “باردة” إذا كانت مساحتها تساوي ضعف مجموع طولي أضلاعها. لنقم بتحليلها بالتفصيل:

لنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية مع أضلاع $a$ و $b$ و $c$، حيث $c$ هو الوتر (الضلع الأطول والذي يكون في النموذج القياسي مقابل الزاوية القائمة).

المساحة $A$ للمثلث القائم الزاوية هي:
$A = \frac{1}{2}ab$

ومجموع أطوال الأضلاع $P$ هو:
$P = a + b + c$

ووفقًا للشرط في المسألة، يجب أن يكون معادلة تصف المساحة مرتبطة بمجموع طولي الأضلاع بالشكل التالي:
$A = 2P$

ومن خلال الاستبدال، نحصل على:
$\frac{1}{2}ab = 2(a + b + c)$

وبعد التلاعب بالمعادلة، نصل إلى:
$ab = 4(a + b + c)$

الآن، لنبدأ في تحليل الحالات الممكنة:

1. لدينا القيم $a$ و $b$، وعلينا أن نجد قيمة $c$ حتى نتأكد من أن كل الأضلاع تكون صحيحة.
2. نبدأ بالتحقق من أقل قيم ممكنة لـ $a$ و $b$، وهما 1.

الآن نقوم بتحديد القيم الممكنة للأضلاع بناءً على الشروط التي ذكرتها. بما أننا نتعامل مع أطوال أضلاع صحيحة، فإننا سنقوم بتحليل الأعداد الصحيحة الممكنة للأضلاع.

بعد الحسابات والتحليل، يمكننا تحديد جميع الثلاثيات (a، b، c) التي تلبي المعادلة المعطاة أعلاه وبالتالي تكون مثلثات باردة.

وبعد ذلك، يمكننا حساب مجموع المساحات لجميع المثلثات الباردة التي تم العثور عليها.