متوسط حلول معادلة رباعية quadractic mean (مسألة رياضيات)

ما المتوسط ​​بين الحلين الحقيقيين لمعادلة الدرجة الثانية التالية: $ax^2 – 2ax + b = 0$؟

الحل:
لحساب المتوسط بين الحلين الحقيقيين لهذه المعادلة، يجب أولاً أن نحدد القيم الحقيقية ل $x$ باستخدام الصيغة العامة لحل المعادلات الثانوية، والتي هي:
$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$

لمعادلتنا $ax^2 – 2ax + b = 0$، نلاحظ أن $a = a$، $b = -2a$، و $c = b$، لذا يمكننا تطبيق هذه القيم في الصيغة العامة. تصبح المعادلة على النحو التالي:
$x = \frac{{-(-2a) \pm \sqrt{{(-2a)^2 – 4 \cdot a \cdot b}}}}{{2a}}$
$x = \frac{{2a \pm \sqrt{{4a^2 – 4ab}}}}{{2a}}$
$x = \frac{{2a \pm \sqrt{{4a(a – b)}}}}{{2a}}$
$x = \frac{{2a \pm 2 \sqrt{{a(a – b)}}}}{{2a}}$

يمكننا إلغاء العامل المشترك 2 من البسط والمقام لنحصل على:
$x = \frac{{a \pm \sqrt{{a(a – b)}}}}{{a}}$

الآن لدينا الحلين:
$x_1 = \frac{{a + \sqrt{{a(a – b)}}}}{{a}}$
$x_2 = \frac{{a – \sqrt{{a(a – b)}}}}{{a}}$

الآن نحسب المتوسط بين هذين الحلين، والذي يمكن تعبيره بالصيغة التالية:
$\text{Mean} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}$

نستبدل قيم $x_1$ و $x_2$ في الصيغة، ونحسب المتوسط:
$\text{Mean} = \frac{{\frac{{a + \sqrt{{a(a – b)}}}}{{a}} + \frac{{a – \sqrt{{a(a – b)}}}}{{a}}}}{2}$
$\text{Mean} = \frac{{\frac{{2a}}{{a}}}}{2}$
$\text{Mean} = \frac{2}{2}$
$\text{Mean} = 1$

إذاً، المتوسط بين الحلين الحقيقيين للمعادلة $ax^2 – 2ax + b = 0$ هو 1.

لحل مسألة متوسط الحلول الحقيقية للمعادلة الرباعية $ax^2 – 2ax + b = 0$، نحتاج إلى استخدام مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية المتعلقة بحل المعادلات الثانوية وحساب المتوسط.

1. صيغة حل المعادلة الثانوية:
   لحل المعادلة الثانوية بصيغتها العامة $ax^2 + bx + c = 0$، نستخدم الصيغة التالية:
   $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 – 4ac}}}}{{2a}}$
   حيث $a$، $b$، و $c$ هي معاملات المعادلة.

2. حساب الحلول الحقيقية للمعادلة الرباعية:
   بما أن المعادلة $ax^2 – 2ax + b = 0$ هي معادلة رباعية، فإننا نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلات الثانوية ونعوض القيم في المعادلة.

3. تطبيق قوانين الجذور:
   عند استخدام الجذور في العملية الحسابية، نحتاج إلى مراعاة القوانين الخاصة بها مثل قانون جذرين متشابهين وقانون جذر واحد.

4. حساب المتوسط:
   بعد حساب الجذور والحصول على الحلول الحقيقية للمعادلة، نقوم بحساب متوسط تلك الحلول باستخدام الصيغة:
   $\text{Mean} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}$
   حيث $x_1$ و $x_2$ هما الحلول الحقيقية للمعادلة.

5. تبسيط العبارات:
   في كل خطوة، نقوم بتبسيط العبارات وتبديل القيم والحسابات للحصول على الحل النهائي بشكل مفهوم ودقيق.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، يمكننا حل المسألة بدقة وفهم تفاصيل كل خطوة في العملية الحسابية.