متوسط الحلول لمعادلة درجة ثالثة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوبة هي إيجاد المتوسط الحسابي لجميع الحلول للمعادلة التالية:

$x^3 + 3x^2 – 10x = 0$

لحل هذه المعادلة، يمكننا أولاً تحويلها إلى شكل يمكننا من العمل به بسهولة أكبر. يمكننا تحويل المعادلة إلى الشكل التالي:

$x(x^2 + 3x – 10) = 0$

والآن يمكننا فصل المعادلة إلى عواملها:

$x(x + 5)(x – 2) = 0$

وبالتالي، يمكن أن نجد الحلول للمعادلة هي:
$x = 0$
$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$
$x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

الآن بما أننا نعرف الحلول، يمكننا حساب المتوسط الحسابي لها. المتوسط الحسابي يُحسب بجمع جميع القيم وتقسيم الناتج على عددها.

$متوسط الحلول = \frac{0 + (-5) + 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

إذاً، المتوسط الحسابي لجميع الحلول هو $-1$.

لحل مسألة العثور على متوسط الحلول للمعادلة $x^3 + 3x^2 – 10x = 0$، يجب علينا اتباع الخطوات التالية:

1. تحويل المعادلة إلى الشكل القياسي:
   يمكننا بساطة تقسيم المعادلة إلى $x$ وعاملين إضافيين، ثم تطبيق القوانين الجبرية الأساسية لتحليل المعادلة وتسهيل عملية الحل.

2. حساب الحلول:
   بعد تحويل المعادلة إلى الشكل المناسب، نستطيع بسهولة حساب الجذور أو الحلول للمعادلة باستخدام قوانين حسابية بسيطة، مثل قانون الجذور وتطبيقه على المعادلة.

3. حساب المتوسط الحسابي:
   بمجرد الحصول على جميع الحلول، يتم حساب المتوسط الحسابي بجمع القيم الحلول معًا وتقسيم الناتج على عددها. هذا يعتمد على قانون الجمع والقسمة في الرياضيات.

تطبيقاً على المسألة:

1. تحويل المعادلة:
   نبدأ بتقسيم المعادلة إلى $x$ وعواملها:
   $x(x^2 + 3x – 10) = 0$

2. حساب الحلول:
   نحل المعادلة الثانوية $(x^2 + 3x – 10) = 0$، وبعد ذلك نستخدم العوامل للعثور على الحلول.

   بتطبيق الصيغة العامة لحل المعادلة الثانوية:
   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

   حيث $a = 1$، $b = 3$، و$c = -10$، نحصل على:
   $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$
   $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$
   $x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2}$
   $x = \frac{-3 \pm 7}{2}$

   لذا الحلول هي:
   $x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$
   $x_2 = \frac{-3 – 7}{2} = -5$

3. حساب المتوسط الحسابي:
   نجمع جميع الحلول معًا ونقسم الناتج على عددها.
   $متوسط الحلول = \frac{0 + (-5) + 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

في النهاية، استخدمنا القوانين الجبرية الأساسية مثل قوانين الجذور والتعويض والجمع والقسمة في الحل للمسألة المطروحة.