ما هي طريقة التقريب الخطي في علم التفاضل والتكامل؟

التقريب الخطي هو طريقة تستخدم في علم التفاضل والتكامل لتقريب قيمة دالة في نقطة معينة باستخدام الميل الخطي للدالة في تلك النقطة. يتم استخدام هذه الطريقة في الحالات التي يصعب حساب قيمة الدالة بطرق أخرى. يتم تطبيق التقريب الخطي على النحو التالي:

1- حساب المشتقة للدالة في النقطة المراد تقريب قيمتها.
2- استخدام هذه المشتقة للحصول على ميل الخط المماس للدالة في تلك النقطة.
3- استخدام الميل المحسوب وقيمة الدالة في النقطة لحساب معادلة الخط الذي يمثل تقريب الدالة في تلك النقطة.

مثال:

لتقريب قيمة دالة f(x) = x² + 3x – 1 عند x = 2، يتم اتباع الخطوات التالية:

1- حساب المشتقة للدالة f'(x) = 2x + 3 في النقطة x = 2، بوضع القيمة 2 في المشتقة للحصول على: f'(2) = 2(2) + 3 = 7.
2- استخدام الميل المحسوب للدالة، عند x = 2، الذي هو 7، لحساب معادلة الخط المماس للدالة في تلك النقطة.
3- معادلة الخط المحسوب تكون y – f(2) = 7(x – 2)، حيث تم استخدام نقطة المحور (-2, 3) مثلثة الخط مع الميل المحسوب.
4- حل هذه المعادلة للحصول على تقريب قيمة الدالة f(2)، الذي يكون f(2) = 13.