ما هي تقنية التضاعف في علم التفاضل والتكامل؟

تقنية التضاعف أو الازدواجية (Integration by substitution) هي تقنية حسابية في علم التفاضل والتكامل تستخدم لتبسيط العبارات المركبة وحساب التكاملات. يتم استخدام هذه التقنية عندما يكون تكامل المعادلة صعبًا أو مستحيلًا للحصول عليه بطرق التكامل الأساسية.

في هذه التقنية، يتم استبدال متغير داخل تكامل بمتغير جديد يعتبر بديلا أسهل لتكامله. وبعد ذلك، يتم تحويل التكامل باستخدام مساواة جديدة تمكن من الحصول على التكامل الجديد بسهولة أكبر.

مثال على تقنية التضاعف:
يمكن استخدام تقنية التضاعف لحساب التكامل التالي:
∫sin(2x)dx

يمكننا استبدال المتغير داخل التكامل، 2x، بمتغير جديد، t، لتبدأ العملية بهذه الصيغة:
t = 2x

ثم يمكن حساب تفريغ هذه المسألة للحصول على dt، عن طريق قسمة المعادلة السابقة على 2:
dt = 2dx

بعد ذلك، يمكن استخدام هذه القيم في تحليل التكامل للحصول على التالي:
∫sin(2x)dx = 1/2 ∫sin(t)dt

يمكن الآن حساب هذا التكامل بسهولة باستخدام مساواة التكامل الأساسية لجيب sin(t):
∫sin(2x)dx = -1/2 cos(t) + C

ثم نستبدل مرة أخرى متغير التكامل المعتمد عليه t بمتغيره الأصلي 2x:
∫sin(2x)dx = -1/2 cos(2x) + C