كيفية حل متوافقات النظرية العددية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو أكبر عدد صحيح سالب $x$ الذي يُرضي المتوافقة $34x + 6 \equiv 2 \pmod{20}$؟

لحل هذه المسألة، يجب أولاً فهم المتوافقة ومعناها. المتوافقة تعني أننا نبحث عن عدد صحيح $x$ الذي عندما نقوم بضربه في 34، ثم نضيف 6 إلى الناتج، يعطي الباقي 2 عندما نقسمه على 20.

لحل هذا النوع من المسائل، نحاول تبسيط التعبير حتى نجد قيمة $x$. لذا، نقوم بخطوات الحل التالية:

1. نبدأ بتبسيط التعبير:
   $34x + 6 \equiv 2 \pmod{20}$
   $34x \equiv -4 \pmod{20}$

2. نلاحظ أن -4 تكافؤ مع 16 (لأن -4 + 20 = 16). لذا، يمكننا تبسيط المتوافقة كالتالي:
   $34x \equiv 16 \pmod{20}$

3. الآن نحاول تبسيط المتوافقة أكثر بقسمة كل جانب على 2 (لتسهيل الحساب):
   $17x \equiv 8 \pmod{10}$

4. الآن نحاول إيجاد قيمة لـ $x$ بحيث تكون $17x \equiv 8 \pmod{10}$. نبدأ بتجريب الأعداد الصحيحة السالبة لـ $x$ بدءًا من أكبر عدد:

$x = -1: 17(-1) \equiv -17 \equiv 3 \pmod{10}$
$x = -2: 17(-2) \equiv -34 \equiv 6 \pmod{10}$
$x = -3: 17(-3) \equiv -51 \equiv 9 \pmod{10}$

5. نواصل هذا العمل حتى نجد قيمة $x$ التي تجعل $17x \equiv 8 \pmod{10}$.

$x = -4: 17(-4) \equiv -68 \equiv 2 \pmod{10}$

إذاً، $x = -4$ يحقق المتوافقة.

لذا، أكبر عدد صحيح سالب $x$ الذي يُرضي المتوافقة $34x + 6 \equiv 2 \pmod{20}$ هو $-4$.

لحل المسألة التي تتعلق بالمتوافقة $34x + 6 \equiv 2 \pmod{20}$، نحتاج إلى فهم القوانين الأساسية لحساب المتوافقات وكذلك تطبيقها بشكل صحيح. هنا هي القوانين المستخدمة مع تفاصيل أكثر حول الحل:

1. قانون الجمع والطرح في المتوافقات: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a + c \equiv b + d \pmod{m}$ و $a – c \equiv b – d \pmod{m}$.

2. قانون الضرب في المتوافقات: إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a \times c \equiv b \times d \pmod{m}$.

3. التبسيط في المتوافقات: يمكن تبسيط المتوافقات عن طريق استخدام العمليات الحسابية الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب.

الآن، سنقوم بتفصيل الخطوات التي تم اتباعها في الحل:

1. بداية التبسيط: نبدأ بتبسيط المعادلة $34x + 6 \equiv 2 \pmod{20}$.

2. تحويل العبارة إلى متوافقة: نستخدم قانون الطرح في المتوافقات للتخلص من الثابت (6) من كلا الجانبين من المعادلة:
   $34x \equiv 2 – 6 \pmod{20}$
   $34x \equiv -4 \pmod{20}$

3. تحويل العبارة إلى قيمة إيجابية: نحول القيمة السالبة إلى قيمة إيجابية عن طريق إضافة 20 إليها:
   $34x \equiv -4 + 20 \pmod{20}$
   $34x \equiv 16 \pmod{20}$

4. تبسيط القيمة: نبسط المتوافقة لتصبح أسهل للحساب:
   $17x \equiv 8 \pmod{10}$

5. التجريب على القيم السالبة لـ $x$: نقوم بتجريب القيم السالبة لـ $x$ للعثور على القيمة المطلوبة. نبدأ من القيمة الأصغر ونتحرك نحو القيم الأكبر.

6. العثور على الحل الصحيح: نجد أن $x = -4$ يجعل المتوافقة صحيحة. لذا، $x = -4$ هو الحل الصحيح للمسألة.

باختصار، استخدمنا قوانين المتوافقات الرئيسية مثل قوانين الجمع والطرح والضرب لتحويل المعادلة الأصلية إلى شكل يسهل حسابه وفهمه. ثم، قمنا بتجريب القيم السالبة لـ $x$ حتى وجدنا القيمة التي تجعل المتوافقة صحيحة، وهي $x = -4$.