كيفية حل المعادلات الثنائية (مسألة رياضيات)

المعادلتان هما:
$8x^2 + 7x – 1 = 0$
$24x^2 + 53x – 7 = 0$

لنقم بحل المعادلة الأولى أولاً باستخدام العملية المعروفة لإكمال المربع:

$8x^2 + 7x – 1 = 0$

نستخدم العملية لإكمال المربع للعثور على جذري المعادلة.

بالنظر إلى المعادلة، نجد أنه يمكننا تقسيم جميع المعاملات على 8 لتبسيطها:

$x^2 + \frac{7}{8}x – \frac{1}{8} = 0$

الآن، لإكمال المربع، نضيف مربع نصف معامل $x$ إلى الطرفين الأول والثالث من المعادلة:

$x^2 + \frac{7}{8}x + \left( \frac{7}{16} \right)^2 – \left( \frac{7}{16} \right)^2 – \frac{1}{8} = 0$

الآن نقوم بتجميع العبارات:

$\left( x + \frac{7}{16} \right)^2 – \frac{49}{256} – \frac{1}{8} = 0$

$\left( x + \frac{7}{16} \right)^2 – \frac{49}{256} – \frac{32}{256} = 0$

$\left( x + \frac{7}{16} \right)^2 – \frac{81}{256} = 0$

الآن، نقوم بإضافة $\frac{81}{256}$ للطرفين:

$\left( x + \frac{7}{16} \right)^2 = \frac{81}{256}$

لحل المعادلة، نقوم بأخذ جذري الطرفين:

$x + \frac{7}{16} = \pm \sqrt{\frac{81}{256}}$

$x + \frac{7}{16} = \pm \frac{9}{16}$

نقوم بطرح $\frac{7}{16}$ من الجانبين:

$x = -\frac{7}{16} \pm \frac{9}{16}$

$x = -\frac{7}{16} + \frac{9}{16} \quad \text{or} \quad x = -\frac{7}{16} – \frac{9}{16}$

$x = \frac{2}{16} \quad \text{or} \quad x = -\frac{16}{16}$

$x = \frac{1}{8} \quad \text{or} \quad x = -1$

لحل المعادلة الثانية، سنقوم بنفس العملية:

$24x^2 + 53x – 7 = 0$

نقوم بتقسيم جميع المعاملات على 24 لتبسيط المعادلة:

$x^2 + \frac{53}{24}x – \frac{7}{24} = 0$

الآن، نقوم بإكمال المربع:

$x^2 + \frac{53}{24}x + \left( \frac{53}{48} \right)^2 – \left( \frac{53}{48} \right)^2 – \frac{7}{24} = 0$

نقوم بتجميع العبارات:

$\left( x + \frac{53}{48} \right)^2 – \frac{2809}{2304} – \frac{7}{24} = 0$

$\left( x + \frac{53}{48} \right)^2 – \frac{2809}{2304} – \frac{288}{2304} = 0$

$\left( x + \frac{53}{48} \right)^2 – \frac{3097}{2304} = 0$

نضيف $\frac{3097}{2304}$ إلى الطرفين:

$\left( x + \frac{53}{48} \right)^2 = \frac{3097}{2304}$

لحل المعادلة، نقوم بأخذ جذري الطرفين:

$x + \frac{53}{48} = \pm \sqrt{\frac{3097}{2304}}$

$x + \frac{53}{48} = \pm \frac{\sqrt{3097}}{48}$

نقوم بطرح $\frac{53}{48}$ من الجانبين:

$x = -\frac{53}{48} \pm \frac{\sqrt{3097}}{48}$

نقوم بتقسيم كل جذر على 48:

$x = -\frac{53 \pm \sqrt{3097}}{48}$

إذا، قيمة $x$ هي:

$x = \frac{1}{8} \quad \text{or} \quad x = -1 \quad \text{or} \quad x = -\frac{53 + \sqrt{3097}}{48} \quad \text{or} \quad x = -\frac{53 – \sqrt{3097}}{48}$

لحل المعادلات الثنائية، يمكن استخدام مجموعة متنوعة من الأساليب، ومنها استخدام العملية المعروفة باسم “إكمال المربع”، والتي تستخدم لتحويل المعادلة الثنائية إلى صيغة مربعية قابلة للحل بسهولة.

القوانين والخطوات المستخدمة في حل المسألة هي كما يلي:

1. تقسيم المعادلة على المعامل الرئيسي: نقوم بتقسيم كل معامل في المعادلة على المعامل الرئيسي لتبسيط الحسابات وتجنب الأعداد الكبيرة.

2. إكمال المربع: نقوم بإضافة مصطلح إكمال المربع في كل جانب من الجانبين من المعادلة. هذه العملية تُسهل عملية حل المعادلة.

3. تجميع العبارات: نقوم بتجميع العبارات المماثلة في المعادلة لتبسيطها والتخلص من الأجزاء الزائدة.

4. حساب الجذر التربيعي: بعد إكمال المربع، نقوم بحساب الجذر التربيعي لكلا الجانبين من المعادلة.

5. حساب القيمة المطلوبة للمجهول: بعد حساب الجذر التربيعي، نقوم بحساب القيمة المطلوبة للمجهول $x$ بتطبيق العمليات الحسابية المناسبة.

هذه الخطوات تمثل الأساس في حل معادلات الدرجة الثانية، وتُستخدم بشكل عام في الرياضيات لحساب القيم المجهولة في المعادلات.

باستخدام هذه الخطوات، نستطيع حل المعادلات الثنائية والعثور على القيم الممكنة للمجهول $x$ بطريقة دقيقة ومنظمة.