كيفية حساب عوامل عدد صحيح (مسألة رياضيات)

إذا كان $n$ عدد صحيح إيجابي أقل من 200، وكانت قيمة $\frac{2n}{108}$ عددًا صحيحًا، فكم عددًا أوليًا إيجابيًا مختلفًا يمكن أن يكون لـ $n$؟

لنقم بحساب قيمة $\frac{2n}{108}$ بشكل أكثر دقة:
$\frac{2n}{108} = \frac{n}{54}$

لكي تكون هذه النسبة عددًا صحيحًا، يجب أن يكون $n$ مضاعفًا للعدد 54. الآن، لنفحص عدد العوامل الأولية المختلفة للعدد 54.

$54 = 2 \times 3^3$

إذاً، لدينا الآن معلومات عن قواسم $n$. عدد 2 يعبر عن قاعدة الأساس، وعدد 3 يمثل العدد المرفوع للأس. في هذه الحالة، لدينا أس 3 ومضاعف 2. لتحديد عدد العوامل الأولية المختلفة لـ $n$، يمكننا استخدام مبدأ الضرب.

إذاً، لدينا عدد العوامل الأولية المختلفة لـ $n$ هو 2 عامل (2 و 3). بناءً على ذلك، $n$ لديها عاملين أوليين مختلفين.

إجابة السؤال: عدد العوامل الأولية المختلفة لـ $n$ هو اثنان.

لحل هذه المسألة، دعونا نبدأ بفحص قيمة $\frac{2n}{108}$ ونحاول فهم الشروط التي يجب أن تتحقق لتكون $n$ عددًا صحيحًا. قانون الكسر يقول إن كسرًا يكون صحيحًا إذا كان البسط (الجزء العلوي) يقبل القسمة على المقام (الجزء السفلي) بدون باقي.

لنفحص الكسر:
$\frac{2n}{108} = \frac{n}{54}$

هنا يظهر لنا أن $n$ يجب أن يكون مضاعفًا للعدد 54 ليجعل الكسر يكون عددًا صحيحًا. هذا يعني أن لدينا:
$n = 54 \times k$

حيث $k$ هو عدد صحيح. الآن نقوم بتحليل 54 إلى عوامله الأولية:

$54 = 2 \times 3^3$

وهنا نطلع على العوامل الأولية لـ $n$، وهي 2 و 3. يمكننا استخدام قانون تحليل العوامل الأولية الذي يقول إن أي عدد صحيح إيجابي يمكن تحليله إلى مضاعفات أولية.

$n = 2^a \times 3^b$

حيث $a$ و $b$ هما الأسس التي تظهر في تحليل العوامل الأولية. في هذه الحالة، $a = 1$ و $b = 3$ لأن 2 و 3 هما العوامل الأولية.

القاعدة الأساسية هي أن عدد العوامل الأولية المختلفة هو المجموع الأسسي للأعداد الأولية المتعلقة بتحليل العدد. إذاً،
$\text{عدد العوامل الأولية المختلفة لـ } n = a + b = 1 + 3 = 4$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون الكسر: لفحص إمكانية الكسر أن يكون عددًا صحيحًا.
2. قانون تحليل العوامل الأولية: لتحليل العدد إلى عوامله الأولية.
3. قانون الأسس: لتمثيل العدد كمضاعف للعوامل الأولية باستخدام الأسس.