كيفية حساب عدد الأصفار في $10!$ بالنظام الثنائي (مسألة رياضيات)

عند كتابة العدد $10!$ في النظام العددي الثنائي، كيف يمكننا معرفة عدد الأصفار التي ينتهي بها؟

أولاً وقبل كل شيء، دعنا نحسب قيمة $10!$، والتي تمثل عبارة عن عاملي العدد 10 وكل الأعداد الصغيرة من 1 إلى 10 مضروبة معًا.
$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

لحساب هذه القيمة، يمكننا البدء بالضرب التدريجي. نبدأ بضرب 10 في 9، والناتج يتم ضربه في 8، وهكذا، حتى نصل إلى 1.

الآن، عندما نمر على هذه الأعداد، نبحث عن عدد الأصفار التي تظهر في نهاية كل عملية ضرب. الصفر يتكون عندما نضرب 10 في أي عدد ينتهي بصفر.

سنلاحظ أن عند ضرب 10 في 9، نحصل على 90، وهنا يكون هناك صفر واحد. عند ضرب 90 في 8، نحصل على 720، وهنا نجد أن هناك صفرين في النهاية. بالطريقة ذاتها، سنجد أن عند ضرب 720 في 7، نحصل على 5040، حيث ينتهي بصفر واحد. ثم، عند ضرب 5040 في 6، نحصل على 30240، وهنا يكون هناك صفرين.

هكذا، نرى أن كلما زاد عدد الأعداد، زاد عدد الأصفار في نهاية العدد المُضروب. وبما أنه تم ضرب كل الأعداد من 1 إلى 10، فإن العدد الناتج سيحتوي على العديد من الأصفار.

لحساب عدد الأصفار في نهاية $10!$، يجب علينا فقط معرفة كم عدد 10 تم ضربه في عملية الضرب. والتي تكون مساوية لعدد الأعداد التي تنتهي بصفر، وهو عدد الأعداد الزوجية بين 1 و 10 (أي 2، 4، 6، 8) بالإضافة إلى 10 نفسه.

إذاً، لدينا 5 أعداد زوجية بالإضافة إلى 10، مما يعني أن هناك 6 أصفار في نهاية $10!$ عندما يُكتب في النظام العددي الثنائي.

لحل هذه المسألة ومعرفة عدد الأصفار التي ينتهي بها العدد $10!$ عندما يُمثل في النظام العددي الثنائي (base 2)، يمكننا القيام بالتحليل التالي مع استخدام بعض القوانين الأساسية في الحساب:

1. قاعدة التحويل إلى نظام ثنائي (base 2):
   قاعدة التحويل إلى نظام ثنائي تقول إنه يمكن تحويل أي عدد إلى نظام ثنائي عن طريق تكرار القسمة على 2 وتسجيل باقي كل قسمة.

2. قاعدة الصفر في الضرب:
   عندما نضرب أي عدد في صفر، ينتج عنها صفر.

3. ضرب العدد 10 بأي عدد ينتهي بصفر:
   عندما نضرب عددًا بـ 10، يتم إضافة صفر إلى نهايته.

بدايةً، نقوم بحساب قيمة $10!$، وهو عبارة عن ضرب جميع الأعداد من 1 إلى 10:

$10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

الآن، سنقوم بتحليل كل عامل في العبارة أعلاه لمعرفة كم عدد 10 تم ضربه في العملية.

• عندما نضرب 10 في 9، نحصل على 90، وينتهي بصفر واحد.
• عندما نضرب 90 في 8، نحصل على 720، وينتهي بصفرين.
• عندما نضرب 720 في 7، نحصل على 5040، وينتهي بصفر واحد.
• عندما نضرب 5040 في 6، نحصل على 30240، وينتهي بصفرين.
• وهكذا…

بالتالي، لتحديد عدد الأصفار في نهاية $10!$ في النظام الثنائي، نحتاج إلى معرفة كم عدد 10 تم ضربه في العملية. وهو يساوي عدد الأعداد الزوجية بين 1 و 10 (2، 4، 6، 8) بالإضافة إلى العدد 10 ذاته.

إذاً، العدد الإجمالي للأصفار في النهاية يساوي 6، حيث يمثل كل 10 ضربات عددتان 0 في النظام الثنائي، والتي تأتي من 10 وضعفاته.