كيفية حساب النقاط في امتحان AMC 10 (مسألة رياضيات)

سارة تقوم بحل امتحان AMC 10 لعام 2007، حيث يُمنح 6 نقاط لكل إجابة صحيحة، ولا يحصل المجيب على أي نقاط إذا كانت الإجابة خاطئة، بينما تحصل الأسئلة غير المجاب عنها على 1.5 نقطة. بعد مراجعة الأسئلة الـ 25، تعتزم سارة الإجابة على الأسئلة الـ 22 الأولى وتترك الثلاثة الأخيرة دون جواب.

ما هو الحد الأدنى من الأسئلة الـ 22 الأولى التي يجب على سارة الإجابة عليها بشكل صحيح على الأقل من أجل الحصول على ما لا يقل عن 100 نقطة؟

لنقم بحساب النقاط التي ستحصل عليها سارة من الأسئلة التي تختار الإجابة عليها بشكل صحيح:

سيكون لديها 22 إجابة صحيحة، وبالتالي ستحصل على $22 \times 6 = 132$ نقطة.

الآن، لديها 3 أسئلة غير مجابة، لذلك ستحصل على $3 \times 1.5 = 4.5$ نقطة.

إذاً، المجموع الكلي للنقاط التي ستحصل عليها سارة هو $132 + 4.5 = 136.5$ نقطة.

ولكنها تحتاج إلى الحصول على ما لا يقل عن 100 نقطة، لذلك يجب عليها الحصول على الحد الأدنى من النقاط من الأسئلة الـ 22 الأولى.

سنفترض أن سارة أجابت بشكل صحيح على $x$ من الأسئلة الـ 22 الأولى. ومن ثم ستكون لديها $22 – x$ إجابة خاطئة.

من الشرط المطلوب للحصول على ما لا يقل عن 100 نقطة:

$6x + 1.5(22 – x) \geq 100$

حيث أن $6x$ هو عدد النقاط من الأسئلة الصحيحة و $1.5(22 – x)$ هو عدد النقاط من الأسئلة الغير مجاب عنها.

يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على القيمة المناسبة لـ $x$:

$6x + 33 – 1.5x \geq 100$

$4.5x \geq 67$

$x \geq \frac{67}{4.5}$

$x \geq 14.888…$

لكن يجب أن تكون $x$ عددًا صحيحًا، لذا يجب على سارة الإجابة على الأسئلة بشكل صحيح على الأقل $15$ من بين الـ $22$ الأولى.

بالتالي، الإجابة النهائية هي أن سارة يجب عليها الإجابة بشكل صحيح على الأقل على 15 من الأسئلة الـ 22 الأولى لتحقيق الحد الأدنى للنقاط المطلوبة والتي هي 100 نقطة أو أكثر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القواعد التالية:

1. معادلة النقاط: نقاط الامتحان يتم حسابها بناءً على الإجابات الصحيحة والخاطئة.
2. حساب النقاط للإجابات الصحيحة: سيتمنح 6 نقاط لكل إجابة صحيحة.
3. حساب النقاط للإجابات الخاطئة: لا يحصل المجيب على أي نقاط في حالة الإجابة الخاطئة.
4. حساب النقاط للأسئلة غير المجاب عنها: في حالة عدم الإجابة عن سؤال، يحصل المجيب على 1.5 نقطة.
5. الهدف النهائي: الحصول على ما لا يقل عن 100 نقطة.

لحساب الحد الأدنى للإجابات الصحيحة التي يجب على سارة الحصول عليها، سنقوم بوضع معادلة تعبر عن المتطلبات النهائية:

1. سارة تخطط للإجابة على الأسئلة الـ 22 الأولى.
2. ستترك الأسئلة الثلاث الأخيرة دون الإجابة.
3. يجب على سارة الحصول على ما لا يقل عن 100 نقطة.

نقوم بتعريف المتغيرات:

• $x$: عدد الأسئلة التي تجيب عليها سارة بشكل صحيح من الـ 22 الأولى.
• $22 – x$: عدد الأسئلة التي تجيب عليها سارة بشكل خاطئ.
• 3: عدد الأسئلة التي لم تجب عليها.

بناءً على ذلك، نكتب المعادلة:
$6x + 1.5(22 – x) \geq 100$

حيث:

• $6x$ هو عدد النقاط من الأسئلة الصحيحة.
• $1.5(22 – x)$ هو عدد النقاط من الأسئلة غير المجاب عنها.
• 100 هو الحد الأدنى للنقاط المطلوبة.

نحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $x$ التي تحقق الشرط المطلوب. إذا كانت هذه القيمة أقل من العدد الصحيح، فإننا نقرر القيمة التالية التي تكون أكبر منها.

بعد حساب القيم، نتحقق من أن القيمة الناتجة تلبي الشروط المطلوبة. ونجد أن عدد الإجابات الصحيحة على الأقل يجب أن يكون 15 لتحقيق الهدف المنشود.