كيفية جعل معادلة رباعية مثلثاً مربعاً كاملاً (مسألة رياضيات)

ما هو القيمة التي تجعل $ax^2 + 15x + 4$ مثلثاً مربعاً كاملاً؟

لنبدأ بتحويل التعبير $ax^2 + 15x + 4$ إلى مثلث مربع كامل. يكون التعبير في شكل مثلث مربع كامل عندما يكون لدينا عبارة من النوع $(px + q)^2$.

$(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2$

مقارنة هذا مع $ax^2 + 15x + 4$:

$p^2x^2 + 2pqx + q^2 = ax^2 + 15x + 4$

من المقارنة، نجد:

1. $p^2 = a$
2. $2pq = 15$
3. $q^2 = 4$

نبدأ بالبحث عن $q$. نعرف أن $q^2 = 4$، ومن ذلك $q = \pm 2$.

الآن، نحن بحاجة إلى حساب $p$. نعلم أن $2pq = 15$، ومن هنا يمكننا أن نجد قيمة $p$ بالاعتماد على $q$:

إذا كان $q = 2$، فإن $2p(2) = 15$، يعني $4p = 15$، ومن ذلك $p = \frac{15}{4}$.

وإذا كان $q = -2$، فإن $2p(-2) = 15$، يعني $-4p = 15$، ومن ذلك $p = -\frac{15}{4}$.

إذاً، لدينا اثنتان من القيم الممكنة لـ $p$، وهما $\frac{15}{4}$ و $-\frac{15}{4}$.

الآن، لنعيد التفكير في معادلتنا الأصلية، نجد أننا بحاجة إلى إيجاد قيمة $a$.

إذاً، إذا كان $p = \frac{15}{4}$، فإن $a = p^2 = \left(\frac{15}{4}\right)^2 = \frac{225}{16}$.

وإذا كان $p = -\frac{15}{4}$، فإن $a = p^2 = \left(-\frac{15}{4}\right)^2 = \frac{225}{16}$ أيضاً.

لذا، قيمة $a$ التي تجعل $ax^2 + 15x + 4$ مثلثاً مربعاً كاملاً هي $\frac{225}{16}$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة التي تجعل $ax^2 + 15x + 4$ مثلثاً مربعاً كاملاً، يمكننا اتباع الخطوات التالية واستخدام القوانين الأساسية لجبر الجذور:

1. تحليل الشكل المطلوب: المطلوب هو جعل التعبير $ax^2 + 15x + 4$ عبارة عن مثلث مربع كامل.

2. تعريف المثلث المربع الكامل: المثلث المربع الكامل هو تعبير يكون على شكل $(px + q)^2$، حيث تكون $p$ و $q$ عبارة عن أعداد حقيقية.

3. المقارنة والتمثيل الرياضي: نقوم بمقارنة التعبير $ax^2 + 15x + 4$ مع $(px + q)^2$.

4. تحليل العلاقات: بناءً على المقارنة، نحصل على العلاقات التالية:

   • $p^2 = a$
   • $2pq = 15$
   • $q^2 = 4$

5. حساب القيم الممكنة لـ $q$: نستخدم معادلة $q^2 = 4$ للحصول على القيم الممكنة لـ $q$، وهي $q = \pm 2$.

6. حساب القيم الممكنة لـ $p$: نستخدم معادلة $2pq = 15$ لحساب القيم الممكنة لـ $p$.

7. اختيار القيم المناسبة لـ $p$: بما أن $p$ يتوقف على $q$، فنحتاج إلى اختيار القيم المناسبة لـ $p$ بناءً على قيمة $q$.

8. حساب $a$: بعد العثور على القيم الممكنة لـ $p$ و $q$، نستخدم العلاقة $a = p^2$ لحساب القيمة التي تجعل التعبير مثلثاً مربعاً كاملاً.

9. الإجابة النهائية: بعد حساب قيمة $a$، نقدم الإجابة النهائية التي تلبي الشرط المطلوب.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الأساسية لجبر الجذور، نستطيع الوصول إلى الإجابة بدقة وبطريقة منظمة.