كيفية تحديد الأعداد الأولية في نطاق 900-950 (مسألة رياضيات)

لتحديد ما إذا كان العدد بين 900 و 950 عدداً أولياً باستخدام القاعدة التي تقول أن لا أحد من الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي الجذر التربيعي للعدد يقسمه، نحتاج إلى اختبار أكبر عامل أولي يصل إلى جذر العدد.

أولاً، دعنا نحدد العدد بين 900 و 950 ونجد أنه يتراوح بين هذه القيم. لدينا:

الحد الأدنى: 900
الحد الأعلى: 950

الآن، نحتاج إلى تحديد الجذر التربيعي للعدد الأعلى وهو 950. نعرف أن جذر 950 أقرب إلى 31 من قربه إلى 30.

الآن، سنبدأ باختبار الأعداد الأولية من 2 إلى 31 للتأكد مما إذا كان هناك أحد الأعداد يقسم العدد بين 900 و 950. إذا وجدنا عدداً يقسم العدد دون بقية، فسنعرف أنه ليس عدداً أولياً. إذا لم نجد أي عدد يقسم العدد، فسنعرف أنه عدد أولي.

لنبدأ باختبار الأعداد الأولية من 2 إلى 31:

2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31.

العدد الأولي الأكبر الذي سنختبره هو 31، لأن أي عامل أولي أكبر منه لن يكون أقل من جذر 950.

الآن، نقوم بقسمة 950 على 31 لنرى ما إذا كان هناك باقٍ. إذا كان الناتج لا يشتمل على باقٍ، فإن 31 هو العامل الأولي الأكبر الذي نحتاج إلى اختباره.

تقسيم 950 ÷ 31 يعطي الناتج 30 مع باقٍ صفر. لذلك، لا يمكن لأي من الأعداد الأولية من 2 إلى 31 أن يقسم 950 بدون باقٍ.

بالتالي، 950 هو عدد أولي، ولا حاجة للبحث عن عوامل أولية أكبر من 31.

لحل المسألة وتحديد ما إذا كان العدد بين 900 و 950 عددًا أوليًا، نستخدم القاعدة الأساسية في نظرية الأعداد التي تقول إنه إذا كان العدد $n$ عددًا أوليًا، فلا يمكن تقسيمه على أي عدد أولي أكبر من جذر $n$ بدون باقٍ. هذه القاعدة تسمى “قاعدة القسمة الأولية”.

بما أننا نريد التحقق مما إذا كان العدد المطلوب بين 900 و 950 عددًا أوليًا، فإن أكبر عدد نحتاج إلى اختباره هو جذر العدد الأعلى في هذا النطاق، والذي هو 950.

أولاً، نجد الجذر التربيعي للعدد 950. الجذر التربيعي لعدد يُرمز إليه بـ $\sqrt{n}$ وهو العدد الذي إذا قُسم عليه نعطى الناتج نفس القيمة. في هذه الحالة، الجذر التربيعي لـ 950 هو حوالي 30.81، ونقربه لأقرب عدد صحيح، وهو 31.

ثم، نقوم بتحديد جميع الأعداد الأولية الصغيرة التي تقل عن 31 لنتأكد مما إذا كان أي منها يقسم العدد المطلوب بين 900 و 950. لذلك، نبدأ بتجربة الأعداد الأولية من 2 إلى 31.

هذه القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. قاعدة الأعداد الأولية: تقول إن الأعداد الأولية هي تلك الأعداد التي لا يمكن تقسيمها على أي عدد آخر سوى 1 ونفسها.
2. قاعدة القسمة الأولية: تقول إنه إذا كان العدد $n$ عددًا أوليًا، فلا يمكن تقسيمه على أي عدد أولي أكبر من جذر $n$ بدون باقٍ.

بعد تجربة جميع الأعداد الأولية من 2 إلى 31، وعدم وجود أي عدد يقسم العدد المطلوب بين 900 و 950 بدون باقٍ، نستنتج أن العدد المطلوب هو عدد أولي.