كيفية إيجاد مركز الدائرة (مسألة رياضيات)

معاد كتابة المسألة الرياضية المعطاة باللغة العربية:

معاد كتابة المسألة الرياضية المعطاة باللغة العربية:

لإيجاد مركز الدائرة في المعادلة $x^2 – 2x + y^2 – 4y – 28 = 0$، يجب تمثيل المعادلة في شكل محوري، أي في شكل $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة، و $r$ هو شعاع الدائرة.

للقيام بذلك، نحتاج أولاً إلى استكمال مربعين لإتمام المربعات الكاملة للمتغيرات $x$ و $y$.

لتحويل المعادلة المعطاة إلى شكل المربع الكامل، نقوم بتقديم المربعات الناقصة، ونكمل المربع الكامل من خلال إضافة وطرح نفس القيمة في كل جانب من المعادلة للحفاظ على توازنها.

لذا، يمكننا كتابة المعادلة بالشكل التالي:

$(x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) = 28 + 1 + 4$

وبعد إجراء عمليات الجمع والطرح، نحصل على:

$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 33$

الآن، بالمقارنة بالشكل العام لمعادلة الدائرة $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، نجد أن مركز الدائرة هو $(h, k) = (1, 2)$، وشعاع الدائرة هو $r = \sqrt{33}$.

لذا، مركز الدائرة هو $(1, 2)$.

لحل مسألة إيجاد مركز الدائرة من خلال المعادلة المعطاة $x^2 – 2x + y^2 – 4y – 28 = 0$، نحتاج إلى استخدام مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية.

1. مستوى المعادلة إلى شكل المربع الكامل: نبدأ بتحويل المعادلة إلى شكل المربع الكامل لتسهيل فهم الدائرة. يتضمن هذا استكمال المربعين لكل متغير $x$ و $y$ في المعادلة.

2. المعادلة العامة لدائرة: نعلم أن المعادلة العامة لدائرة في مستوى كارتيسيان يمكن تمثيلها على النحو التالي: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة، و $r$ هو شعاع الدائرة.

3. تطبيق المعادلة العامة للدائرة: بعد تحويل المعادلة المعطاة إلى شكل المربع الكامل، نقارنها بالمعادلة العامة للدائرة لتحديد قيم $(h, k)$ و $r$.

الآن، دعنا نقوم بتفصيل الحل:

الخطوات:

1. استكمال المربع الكامل:
   نقوم بإضافة وطرح القيم المناسبة لاستكمال المربع الكامل لكل من $x$ و $y$ في المعادلة المعطاة.

   المعادلة المعطاة: $x^2 – 2x + y^2 – 4y – 28 = 0$

   نقوم بإضافة المربع الناقص من كل متغير:
   $(x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) = 28 + 1 + 4$

2. تحويل المعادلة إلى الشكل العام للدائرة:
   بعد استكمال المربع الكامل، نقارن المعادلة بالشكل العام للدائرة:
   $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

   المقارنة تعطينا القيم التالية:
   $(h, k) = (1, 2)$ و $r = \sqrt{33}$.

القوانين المستخدمة:

1. منهجية استكمال المربع الكامل: يتضمن استكمال المربع الكامل إضافة المربع الناقص من كل متغير في المعادلة لتحويلها إلى شكل المربع الكامل.

2. معادلة الدائرة العامة: تُستخدم لتمثيل الدائرة في المستوى الكارتيسيان، وتعبر عنها المعادلة $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة، و $r$ هو شعاع الدائرة.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نستطيع بسهولة إيجاد مركز الدائرة وشعاعها.