قيم ممكنة لمعادلة تربيعية. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
تحديد مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير $b$ بتعبير نطاقي إذا كان المعادلة التربيعية $x^2 + bx + 16$ تمتلك على الأقل جذراً حقيقياً.

الحل:
للعثور على الشروط التي يجب أن تتحقق حتى تمتلك المعادلة التربيعية على الأقل جذرًا حقيقيًا، نحتاج إلى التفكير في شرط “القاعدة الذهبية” للجذور التربيعية. هذا الشرط ينص على أنه إذا كان لدينا معادلة تربيعية $ax^2 + bx + c$، فإنها ستمتلك جذرين حقيقيين إذا كانت قيمة التعبير $b^2 – 4ac$ (المعروف باسم الدليل) موجبة أو تساوي الصفر.

في حالتنا، لدينا المعادلة $x^2 + bx + 16$. نريد أن يكون لدينا على الأقل جذر واحد حقيقي، وبالتالي يجب أن يكون الدليل ($b^2 – 4ac$) موجبًا أو يساوي الصفر، حيث $a=1$، $b=b$، و $c=16$.

لذا، نحتاج إلى حل المعادلة التالية:
$b^2 – 4ac \geq 0$

حيث $a=1$، $b=b$، و $c=16$.

باستخدام القيم المعطاة، نحصل على:
$b^2 – 4(1)(16) \geq 0$
$b^2 – 64 \geq 0$
$b^2 \geq 64$

الآن نبحث عن القيم التي تحقق هذا الشرط. نعلم أن الأعداد التي إذا رفعتها إلى السلبي ستكون موجبة وسلبية وإذا رفعتها للموجب ستكون موجبة. ولذلك نبحث عن العدد الذي يحقق هذا الشرط و يجب أن تكون قيمته موجبة أو سالبة. لذلك نحتاج إلى العدد 8 أو -8.

إذاً، مجموعة القيم الممكنة ل $b$ بشكل موجب أو سالب هي: $b \leq -8$ أو $b \geq 8$.

لحل المسألة وتحديد مجموعة القيم الممكنة للمتغير $b$ في المعادلة التربيعية $x^2 + bx + 16$ بحيث تمتلك على الأقل جذرًا حقيقيًا، نحتاج إلى استخدام مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. القاعدة الذهبية للجذور التربيعية:
   هذه القاعدة تقول إن معادلة تربيعية بصيغة $ax^2 + bx + c$ تمتلك جذرين حقيقيين إذا كان الدليل (أو discriminant) $b^2 – 4ac$ موجبًا أو يساوي الصفر.

2. الدليل (المقدار المطلق لقيمة الجذر التربيعي):
   الدليل هو التعبير $b^2 – 4ac$ في معادلة الدرجة الثانية $ax^2 + bx + c$. إذا كان هذا الدليل موجبًا، فإن المعادلة تمتلك جذرين حقيقيين.

3. المعادلة التربيعية العامة:
   المعادلة التربيعية عموما تأخذ الصيغة $ax^2 + bx + c$ حيث $a$، $b$، و $c$ هي الثوابت، وهذه الصيغة تساعدنا في تحديد العلاقة بين مختلف العناصر في المعادلة.

الآن، لحل المسألة، نريد أن نحدد قيمة $b$ بحيث تكون المعادلة $x^2 + bx + 16$ تمتلك على الأقل جذرًا حقيقيًا. لذا، نضع الشرط التالي:

$b^2 – 4ac \geq 0$

حيث $a=1$، $b=b$، و $c=16$، مما يؤدي إلى:

$b^2 – 4(1)(16) \geq 0$
$b^2 – 64 \geq 0$
$b^2 \geq 64$

نقوم بحل المتباينة السابقة باستخدام مفهوم الجذر التربيعي، ونجد أن القيم الممكنة لـ $b$ هي الأعداد التي إذا رفعت إلى السلبي ستكون موجبة وإذا رفعت للموجب ستبقى موجبة. لذا، نجد أن $b$ يجب أن يكون أكبر من $8$ أو أصغر من $-8$ لضمان أن المعادلة تمتلك على الأقل جذرًا حقيقيًا.

بالتالي، المجموعة المطلوبة لقيمة $b$ في شكل النطاق هي: $b \leq -8$ أو $b \geq 8$.