قيمة لوغاريتم القاعدة 8 للعدد 2 (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد قيمة التعبير $\log_8 2$.

لحل هذه المسألة، نستخدم خاصية اللوغاريتمات التي تقول إذا كان $\log_b a = c$، فإنه يعني أن $b^c = a$.

بالتطبيق في هذه المسألة، نريد إيجاد القيمة التي يجب أن يتم رفع الأساس 8 للحصول على 2. وبما أن $8 = 2^3$، فإن اللوغاريتم القاعدي $\log_8 2$ يمثل القوة التي يجب أن يتم رفع العدد 8 إليها للحصول على 2.

إذاً، نعبر عن ذلك بالتساوي التالي:
$8^{\log_8 2} = 2$

من المعادلة أعلاه، يتضح أن الأساس 8 مرفوع لقوة ما (وهي $\log_8 2$) يساوي 2.

بما أن $8 = 2^3$، فإننا نستخدم هذه الخاصية لتفسير $8^{\log_8 2} = (2^3)^{\log_8 2} = 2^{3 \cdot \log_8 2}$.

ونعلم أيضاً أن $2 = 2^1$.

إذاً، يمكننا مقارنة الأساس وتطبيق قاعدة الأسس للجداء للحصول على التعبير التالي:
$2^{3 \cdot \log_8 2} = 2^1$

وبالتالي، يجب أن يكون المقدار ضرب القوة في $\log_8 2$ يساوي 1.

$3 \cdot \log_8 2 = 1$

نقوم بحل المعادلة للحصول على قيمة $\log_8 2$.

$\log_8 2 = \frac{1}{3}$

إذاً، قيمة $\log_8 2$ تساوي $\frac{1}{3}$.

لحل مسألة $\log_8 2$، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في اللوغاريتمات والأسس. إليك الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. تعريف اللوغاريتم:
   لوغاريتم أساس $b$ للعدد $a$ هو القوة التي يجب أن يتم رفع الأساس $b$ للحصول على العدد $a$. في هذه المسألة، نريد معرفة القوة التي يجب أن يتم رفع العدد 8 لها للحصول على العدد 2.

2. خاصية الأسس:
   إذا كان $b^{\log_b a} = a$، فإن ذلك يعني أن اللوغاريتم قاعدته $b$ للعدد $a$ يساوي القوة التي يجب أن يتم رفع الأساس $b$ لها للحصول على العدد $a$.

3. قاعدة الأسس للضرب:
   $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$

4. قاعدة الأسس للقسمة:
   $\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y$

5. قاعدة الأسس للأسس:
   $\log_b (x^c) = c \cdot \log_b x$

الآن، لنقم بحل المسألة:

المعادلة: $\log_8 2$

نعلم أن $8 = 2^3$، إذاً نستخدم هذا الخطوة في الحل.

نعبر عن ذلك بالتساوي التالي:
$8^{\log_8 2} = 2$

بما أن $8 = 2^3$، نستخدم قاعدة الأسس للضرب للتعبير عن القوة:
$(2^3)^{\log_8 2} = 2$

ونعلم أيضًا أن $2 = 2^1$، لذا يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:
$2^{3 \cdot \log_8 2} = 2^1$

باستخدام قاعدة الأسس للأسس، نحصل على:
$3 \cdot \log_8 2 = 1$

وبالتالي:
$\log_8 2 = \frac{1}{3}$

هذه هي الطرق المستخدمة في حل المسألة، والقوانين التي توجد وراءها لفهم اللوغاريتمات والأسس.