قيمة قصوى لتعبير المثلثات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب حساب القيمة القصوى للتعبير $a \cos \theta + b \sin \theta$ بالنسبة للأعداد الحقيقية $a$ و $b$.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم المثلثات والدوال الزاوية. نعلم أن تعبير $\cos \theta$ يمثل قيمة الجزء المجاور للزاوية $\theta$ في مثلث قائم الزاوية، بينما تعبير $\sin \theta$ يمثل قيمة الجزء المقابل للزاوية $\theta$ في نفس المثلث.

لنحاول تعبير $a \cos \theta + b \sin \theta$ بشكل يستخدم القوانين الأساسية للجبر والمثلثات. يمكن كتابة هذا التعبير على شكل متغير واحد، وهو $\sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ حيث أن $\phi$ هو الزاوية التي يجب تحديدها.

نريد أن نحدد $\phi$ بحيث يكون التعبير $\sin(\theta + \phi)$ هو دالة موجبة. لأن $\sin$ تكون إيجابية في الربع الأول والربع الثاني من الدائرة الوحدة، ونعلم أن $\sin \theta$ و $\cos \theta$ تمثلان دالتين دورية بفترة $2\pi$، فإننا نعرف أن القيمة القصوى ستكون موجبة وتساوي $\sqrt{a^2 + b^2}$.

لذلك، القيمة القصوى للتعبير $a \cos \theta + b \sin \theta$ هي $\sqrt{a^2 + b^2}$.

لحل المسألة وتحديد القيمة القصوى للتعبير $a \cos \theta + b \sin \theta$ بالنسبة للأعداد الحقيقية $a$ و $b$، سنستخدم الفهم العميق للدوال الزاوية والمثلثات وبعض القوانين الأساسية في الجبر.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. معادلات المثلثات:

   • $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$: هذه المعادلة تعبر عن العلاقة الأساسية بين دوال الزاوية $\sin \theta$ و $\cos \theta$ في المثلثات.
   • تمثيل $\sin \theta$ و $\cos \theta$ في مثلث قائم الزاوية.

2. المثلث المستطيل والتمثيل الهندسي:

   • تمثيل الأعداد $a$ و $b$ كطولين لأضلاع مثلث قائم الزاوية.

3. تحليل الدوال الزاوية:

   • استخدام الدوال الزاوية لتمثيل العلاقة بين الجزء المجاور والجزء المقابل في المثلثات.
   • مفهوم دوران الزاوية وتأثيره على قيم الدوال الزاوية.

4. القيم القصوى:

   • فهم أساسيات القيم القصوى للتعبيرات الرياضية.

لتحديد القيمة القصوى للتعبير $a \cos \theta + b \sin \theta$، نلاحظ أنه يمكن تمثيل هذا التعبير على شكل متغير واحد باستخدام الدوال المثلثية، حيث:
$a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \theta \right).$

وباستخدام معادلة الزاوية الموجبة للدوال الزاوية، يمكن كتابة التعبير السابق بصورة:
$\sqrt{a^2 + b^2} \left( \sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta \right).$

حيث $\sin \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ و $\cos \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

الآن، نلاحظ أنه بالنسبة للزاوية $\theta$، يمكننا كتابة هذا التعبير على شكل $\sin(\theta + \phi)$، وبما أن الحد الأعلى للتعبير $\sin(\theta + \phi)$ هو 1، فإن القيمة القصوى للتعبير $a \cos \theta + b \sin \theta$ هي $\sqrt{a^2 + b^2}$.

تمثل هذه القيمة القصوى عندما يكون معامل التعبير $\sin(\theta + \phi)$ يساوي 1، وهو يحدث عندما تكون $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$، مما يؤدي إلى قيمة $\sin(\theta + \phi) = 1$.