قيمة العنصر الخامس والعشرين في تسلسل حسابي (مسألة رياضيات)

المطلوب: قيمة العنصر الخامس والعشرين في التسلسل الحسابي $2، 5، 8، …$؟

الحل:
التسلسل الحسابي يتميز بالزيادة الثابتة بين كل عنصرين متتاليين. لحساب العنصر الخامس والعشرين، نحتاج إلى معرفة القاعدة الحسابية للتسلسل ومن ثم حساب العنصر الخامس والعشرين بالاستناد إلى هذه القاعدة.

القاعدة الحسابية للتسلسل الحسابي يمكن حسابها بطرح أي عنصر متتالي من العنصر السابق. في هذه الحالة، نقوم بطرح العنصر الثاني (5) من العنصر الأول (2) للحصول على الفارق بين كل عنصرين متتاليين. يُمثل هذا الفارق الزيادة الثابتة.

$5 – 2 = 3$

إذاً، الزيادة الثابتة بين كل عنصرين متتاليين هي 3.

الآن، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب العنصر الخامس والعشرين. لدينا العنصر الأول 2، والزيادة الثابتة 3. لحساب العنصر الخامس والعشرين، نستخدم الصيغة التالية:

$a_n = a_1 + (n – 1)d$

حيث:

• $a_n$ هو العنصر الذي نريد حسابه (العنصر الخامس والعشرين في هذه الحالة).
• $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الزيادة الثابتة بين كل عنصرين متتاليين.
• $n$ هو موقع العنصر الذي نريد حسابه.

بالتعويض في القيم المعطاة:

• $a_1 = 2$
• $d = 3$
• $n = 25$

نحسب العنصر الخامس والعشرين:
$a_{25} = 2 + (25 – 1) \times 3$
$a_{25} = 2 + 24 \times 3$
$a_{25} = 2 + 72$
$a_{25} = 74$

إذاً، قيمة العنصر الخامس والعشرين في التسلسل الحسابي هي 74.

لحل المسألة واستنتاج قيمة العنصر الخامس والعشرين في التسلسل الحسابي $2، 5، 8، …$، نحتاج إلى استخدام القوانين والمفاهيم التالية:

1. قاعدة التسلسل الحسابي: يتميز التسلسل الحسابي بوجود فارق ثابت بين كل عنصرين متتاليين. هذا الفارق الثابت يُعرف بالزيادة الثابتة أو النقصان الثابت حسب السياق. في هذه المسألة، الزيادة الثابتة بين كل عنصرين متتاليين هي 3.

2. صيغة العنصر العام في التسلسل الحسابي: الصيغة لحساب العنصر العام في التسلسل الحسابي هي:

$a_n = a_1 + (n – 1)d$

حيث:

• $a_n$ هو العنصر الذي نريد حسابه.
• $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $d$ هو الزيادة الثابتة بين كل عنصرين متتاليين.
• $n$ هو موقع العنصر الذي نريد حسابه.

3. تطبيق الصيغة على المسألة: باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه، يمكننا حساب قيمة العنصر الخامس والعشرين في التسلسل الحسابي. نقوم بتحديد قيم المتغيرات: $a_1 = 2$ (العنصر الأول)، $d = 3$ (الزيادة الثابتة)، و $n = 25$ (موقع العنصر الذي نريد حسابه).

4. التعويض والحساب: نستخدم القيم المحددة في الصيغة لحساب قيمة العنصر الخامس والعشرين. بمجرد التعويض والحساب، نحصل على قيمة العنصر المطلوب.

بالتالي، بعد تطبيق هذه الخطوات والقوانين، نجد أن قيمة العنصر الخامس والعشرين في التسلسل الحسابي $2، 5، 8، …$ هي 74.