الدائرة ذات المركز C تلامس محوري الإحداثيات x و y بالإضافة إلى أنها تلامس بشكل خارجي دائرة أخرى مركزها (3,0) ونصف قطرها 1. ما مجموع جميع الأوساط الممكنة للدائرة ذات المركز C؟
لنقم بتحديد نقطة اللامس للدائرة C. لأنها تلامس محور x ومحور y، فإن نقطة اللامس ستكون (r,r) حيث يكون r هو نصف قطر الدائرة.
الآن، لو نرمز لنصف قطر الدائرة C بـ r، يكون مركز الدائرة C على مسافة r من كلا المحورين x و y. لذلك، إذا كان نقطة اللامس (r,r)، فإن مركز الدائرة C هو (r,r) أيضًا.
نريد الآن أن نجد النقطة على محور x حيث تكون الدائرة C ملامسة للدائرة الأخرى. نقوم بذلك بتفريغ المسافة بين مركز الدائرة C ومركز الدائرة الثانية ونضيف نصف قطر الدائرة C. الفرق بين مركز الدائرتين يساوي r – 3، ونضيف إلى ذلك نصف قطر الدائرة C. لكن نصف قطر الدائرة الثانية هو 1، لذا نستبدله بـ 1. لذا المعادلة تصبح:
r – 3 + r = r + r – 3 = 2r – 3
نحتاج الآن إلى حل المعادلة 2r – 3 = r لأن المركزين يجب أن يكونا على نفس الخط. يمكننا حل هذه المعادلة للعثور على قيمة r.
2r – 3 = r
r = 3
لذا القطر الذي يسمح بتلامس الدائرتين يكون 3.
القطر الذي يسمح بتلامس الدائرة C مع محور x أو محور y يكون نصف قطر الدائرة C، وهو r، بحيث يكون r = 3.
بالتالي، المجموع الإجمالي لجميع الأقطار الممكنة للدائرة ذات المركز C هو 3.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين الهندسية والجبرية لتحديد القطر المطلوب للدائرة ذات المركز C.
أولاً، لنستخدم قانون المثلثات لتحديد نقطة اللامس بين الدائرة C ومحور x ومحور y. نعلم أن نقطة اللامس بين الدائرة والمحورين ستكون على نفس المسافة من مركز الدائرة C. لذا، نقوم بتحديد الإحداثيات التي تقع على مسافة نصف قطر الدائرة من الأصل (0,0)، وهو (r,r).
ثانياً، لحساب القطر المطلوب للدائرة C، سنستخدم مفهوم التلامس بين الدوائر. لتلامس الدائرتين، يجب أن تكون المسافة بين مركز الدائرتين مساوية لمجموع نصف قطري الدائرتين. هذا يعني أننا نستطيع كتابة معادلة تعبر عن هذا الشرط.
ثالثاً، سنحسب المسافة بين مركزي الدائرتين ونضيف نصف قطر الدائرة C للحصول على القطر المطلوب.
الآن، دعونا نقوم بتحليل هذه العمليات بالتفصيل:
-
قانون المثلثات:
نقطة اللامس بين الدائرة C ومحور x ومحور y هي نفسها، وتكون على مسافة نصف قطر الدائرة من الأصل، لذا تكون إحداثياتها (r,r). -
قانون التلامس:
لتلامس الدائرتين، المسافة بين مركزيهما يجب أن تكون مساوية لمجموع نصف قطريهما. لذا المعادلة التي تمثل هذا الشرط هي:
- حساب القطر:
نضيف نصف قطر الدائرة C إلى المسافة بين مركزي الدائرتين للحصول على القطر المطلوب.
الآن، يمكننا حل المعادلة الثانية للعثور على قيمة r، ومن ثم نحسب القطر.
هذه العمليات الهندسية والجبرية تسمح لنا بتحديد القطر المطلوب للدائرة C بناءً على شروط التلامس والمسافة بين المراكز.