فهم قيمة التانجنت لزاوية -3π/4 (مسألة رياضيات)

قيمة الظاهرية للظل الدنياوي لزاوية -3π/4 هي -1. في الدائرة الوحدية، يكون الظل الدنياوي للزاوية هو قيمة الظاهرية لدالة الظل (التانجنت) في تلك الزاوية. لذلك، تكون قيمة التانجنت للزاوية المعطاة هي -1.

للوصول إلى هذا الحل، نستخدم النقطة (-1, -1) التي تمثل الظاهرية للزاوية -3π/4 على الدائرة الوحدية. يتم تحديد قيمة التانجنت باستخدام النسبة بين الإحداثيات الصادرة من هذه النقطة، حيث تكون التانجنت تساوي الإحداثي الصادر عن المحور الصادر (الإحداثي الصادر في الاتجاه السلبي للمحور السيني) مقسومًا على الإحداثي الصادر (الإحداثي الصادر في اتجاه السين). في هذه الحالة، يكون الإحداثي الصادر هو -1، والإحداثي الصادر هو -1، لذلك التانجنت تكون (-1)/(-1)، مما يؤدي إلى قيمة 1.

إذاً، قيمة التانجنت للزاوية -3π/4 هي 1.

لحل مسألة قيمة التانجنت للزاوية -3π/4، نحتاج إلى النظر في الدائرة الوحدية وفهم العلاقة بين الزوايا والدوال الجيبية. في هذا السياق، سنستخدم المعلومات التالية:

1. الدائرة الوحدية:
   في الدائرة الوحدية، يكون شعاع الدائرة هو وحدة الطول (1)، ومركزها هو الأصل (0،0).

2. التانجنت (الظل الدنياوي):
   لزاوية معينة في الدائرة الوحدية، يكون التانجنت يساوي الإحداثي الصادر من النقطة حيث يلتقي الشعاع مع الدائرة، وذلك مقسومًا على الإحداثي الصادر من النقطة حيث يلتقي الشعاع الأفقي (المحور السيني) مع الدائرة.

للزاوية -3π/4:

• نقطة التقاء الشعاع مع الدائرة هي (-√2/2، -√2/2)، حيث يكون الإحداثي الصادر في اتجاه السين هو -√2/2.
• الإحداثي الصادر في اتجاه المحور الصادر هو -√2/2.

الآن، نقوم بحساب قيمة التانجنت:
$\tan(-3\pi/4) = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$

لقد قمنا بتطبيق مفهوم الدائرة الوحدية واستخدمنا معرفتنا بالإحداثيات والدوال الجيبية. يمكن تلخيص الحل باستخدام القوانين التالية:

1. قانون الدائرة الوحدية:
   يساعدنا على فهم مكونات الزوايا في الدائرة الوحدية وتحديد إحداثياتها.

2. قانون التانجنت:
   يعبر عن العلاقة بين التانجنت وإحداثيات نقطة التقاء الشعاع مع الدائرة.

3. التعامل مع الزوايا السالبة:
   حيث قمنا بتطبيق مفهوم الزاويا السالبة للزاوية -3π/4.

بهذا، نكون قد حققنا الحل بشكل كامل وفهمنا العمليات التي أدت إلى الإجابة.