فهم قابلية الدوال للعكس (مسألة رياضيات)

الدالات التي لا تكون قابلة للعكس يمكن جعلها قابلة للعكس من خلال تقييد نطاقاتها. على سبيل المثال، الدالة $x^2$ تصبح قابلة للعكس إذا قيدنا قيم $x$ إلى الفترة $[0، \infty)$، أو إلى أي مجموعة فرعية من تلك الفترة. في هذه الحالة، الدالة العكسية هي $\sqrt{x}$، كما يمكن أن نقيد $x^2$ إلى النطاق $(-\infty، 0]$، حيث تصبح الدالة العكسية هي $-\sqrt{x}$.

بنفس الطريقة، بقيادة نطاق دالة $f(x) = 2x^2-4x-5$ إلى فترة، يمكننا جعلها قابلة للعكس. فما هو أكبر فترة ممكنة تتضمن النقطة $x=0$؟

لحساب الفترة التي تجعل الدالة $f(x) = 2x^2-4x-5$ قابلة للعكس والتي تشمل النقطة $x=0$، يجب أن نأخذ في الاعتبار خصائص الدالة وطبيعتها.

أولاً، يجب أن نحدد متى تكون الدالة قابلة للعكس. الدالة قابلة للعكس إذا كانت تمثل تطابقًا لكل $x$ مع قيمة وحيدة للدالة $f(x)$.

لحساب الفترة التي تحقق ذلك، يمكننا أولاً أن نحدد متى تكون $f(x)$ قابلة للعكس. يمكن استخدام قاعدة بسيطة: دالة رياضية عكسية إذا كانت تتجه إلى اتجاه واحد فقط. بمعنى آخر، يجب أن تكون الدالة وظيفية (one-to-one) على الفترة التي نقيدها إليها.

لنبدأ بحساب النقطة التي تمثل النقطة المقابلة للنقطة $x=0$. نستخدم القيمة $f(0)$ للعثور على هذه النقطة.

$f(0) = 2(0)^2 – 4(0) – 5 = -5$

إذاً، النقطة التي تقابل $x=0$ هي $(-5)$.

الآن، يجب أن نحدد متى تكون الدالة $f(x)$ قابلة للعكس على الفترة المطلوبة. واحدة من الطرق للتحقق من ذلك هي استخدام مبدأ كروسون، حيث تكون الدالة $f(x)$ قابلة للعكس إذا كانت متزايدة أو متناقصة بشكل مستمر في الفترة المحددة.

لحساب الفترة المطلوبة، نستخدم الحساب التحليلي للدالة $f(x)$، والذي يقول إن النقطة الحرجة (أو الشكل المقعر) تحدث عندما يكون التسارع (المشتقة الثانية) موجبًا. هذا يحدث عندما تكون مشتقة الدالة الأولى موجبة وتزيد على مدار الفترة التي نرغب في جعلها قابلة للعكس.

نبدأ بحساب المشتقة الأولى للدالة $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x – 5) = 4x – 4$

الآن، نعين متى تكون $f'(x)$ موجبة أو سالبة. نحل المعادلة:

$4x – 4 = 0$
$x = 1$

هذا يعني أن $f'(x)$ موجبة عند $x > 1$ وسالبة عند $x < 1$.

إذاً، الدالة $f(x)$ متزايدة (مشتقتها الأولى موجبة) عند $x > 1$ ومتناقصة (مشتقتها الأولى سالبة) عند $x < 1$.

بالتالي، يجب أن نقيد الفترة إلى $x > 1$ حتى تكون $f(x)$ قابلة للعكس وتشمل النقطة $x = 0$. وبما أننا نحن نريد أن تشمل الفترة أكبر قدر

لحل المسألة وتحديد أكبر فترة ممكنة تشمل النقطة $x = 0$ وتجعل الدالة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$ قابلة للعكس، نحتاج إلى استخدام مبادئ الجبر والتحليل الرياضي.

أولاً وقبل البدء في حساب الفترة المطلوبة، دعونا نتذكر القوانين الأساسية التي سنستخدمها في الحل:

1. قاعدة التحليل الرياضي: الدالة $f(x)$ قابلة للعكس إذا كانت تتجه إلى اتجاه واحد فقط، أي أنها تكون وظيفية.
2. مبدأ كروسون: الدالة $f(x)$ قابلة للعكس إذا كانت متزايدة أو متناقصة بشكل مستمر في الفترة المحددة.

الآن، سنقوم بحساب المشتقة الأولى للدالة $f(x)$ لتحديد أماكن التغير في اتجاهها:

$f(x) = 2x^2 – 4x – 5$

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x – 5) = 4x – 4$

ثم نقوم بحل المشتقة للعثور على النقطة حيث تتغير اتجاه الدالة:

$4x – 4 = 0$

$x = 1$

هذا يعني أن الدالة $f(x)$ تتغير من متزايدة إلى متناقصة عند $x = 1$.

لكي تكون الدالة قابلة للعكس، يجب أن تكون وظيفية على الفترة التي نريدها. لذلك، نحتاج إلى أن تكون الدالة متزايدة أو متناقصة بشكل مستمر.

نريد أن نجد الفترة التي تشمل $x = 0$ وتجعل الدالة متزايدة أو متناقصة بشكل مستمر. إذاً، يجب أن نختار فترة تبدأ من $x = 1$ (حيث يتغير اتجاه الدالة) وتمتد إلى الأعلى.

بالتالي، أكبر فترة ممكنة تتضمن $x = 0$ وتجعل الدالة $f(x) = 2x^2 – 4x – 5$ قابلة للعكس هي $x \geq 1$.

هذا هو الحل باستخدام القوانين الرياضية الأساسية لتحليل الدوال وتحديد قابليتها للعكس.