فترة الدالة المركبة: تحديد وحساب. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

نريد حساب فترة الدالة $y = \sin x + \cos x$.

الحل:

نعلم أن دالة الجيب التمامية (sine) $\sin x$ ودالة الجيب المتمم (cosine) $\cos x$ لهما نفس الفترة، وهي $2\pi$.

لتحديد فترة الدالة $y = \sin x + \cos x$، يجب أولاً ملاحظة أن هذه الدالة هي مجموع لدالتين متقاربتين، وهما $\sin x$ و $\cos x$، والتي لهما نفس الفترة.

فترة الدالة $y = \sin x + \cos x$ تعتمد على الفترة الأصغر بين الدالتين المكونتين لها. بما أن الدالتين $\sin x$ و $\cos x$ لهما نفس الفترة ($2\pi$)، فإن الفترة الأصغر ستكون $2\pi$.

بالتالي، فإن فترة الدالة $y = \sin x + \cos x$ هي $2\pi$.

وهذا يعني أن الدالة تتكرر بنفس الشكل كل $2\pi$ وحدة من الزمن، وهو نفس الوقت الذي يستغرقه كل من $\sin x$ و $\cos x$ ليكمل دورة كاملة.

لحساب فترة الدالة $y = \sin x + \cos x$، يمكننا اللجوء إلى الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية والمتجهية والجيبية. هنا هي الخطوات الأساسية التي تستخدم في الحساب مع القوانين المستخدمة:

1. ملاحظة الدوال المكونة: ندرك أن الدالة $y = \sin x + \cos x$ تتكون من مجموع دالتي الجيب المثلثية، وهما $\sin x$ و $\cos x$.

2. معرفة فترة الدوال الفردية: نعرف أن الدالتين $\sin x$ و $\cos x$ لهما نفس الفترة، وهي $2\pi$، بموجب القواعد الأساسية للدوال الجيبية.

3. تحديد أصغر فترة: نعلم أن الدالة المركبة تتكون من مجموع الدوال المفردة، لذا فإن الفترة الكلية للدالة المركبة تتحدد بالفترة الأقصر للدوال المفردة المكونة.

4. حساب الفترة الكلية: بموجب المعلومات السابقة، يمكننا استنتاج أن فترة الدالة $y = \sin x + \cos x$ هي نفس فترة الدالة $\sin x$ و $\cos x$، وهي $2\pi$.

القوانين المستخدمة:

• قانون فترة الدالة الجيبية: فترة الدوال الجيبية $\sin x$ و $\cos x$ هي $2\pi$.
• قانون مجموع الدوال: لدالة تتكون من مجموع دوال، فإن فترتها تعتمد على الدالة التي لها أقل فترة.

بالتالي، يكمن الحل في استخدام هذه القوانين والملاحظات لتحديد فترة الدالة المركبة. في هذه الحالة، الفترة هي $2\pi$، مما يعني أن الدالة تتكرر بنفس الشكل كل $2\pi$ وحدة من الزمن.