علاقة بين x + 1 x x + \frac{1}{x} x + x 1 و x 3 + 1 x 3 x^3 + \frac{1}{x^3} x 3 + x 3 1 (مسألة رياضيات)

إذا كان $x + \frac{1}{x} = -5$، فما هو قيمة $x^3 + \frac{1}{x^3}$؟

لنبدأ بحل المسألة:

من المعادلة $x + \frac{1}{x} = -5$، يمكننا رفع كل طرف إلى العشرة للتخلص من المقام في الكسر. نضرب كلا الطرفين في $x$ للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $x$:

$x^2 + 1 = -5x$

الآن نحاول تجميع المصطلحات الشبيهة وتحويل المعادلة إلى المظهر القياسي للدرجة الثانية:

$x^2 + 5x + 1 = 0$

الآن يمكننا حل المعادلة باستخدام العلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها. يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب الجذور:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = 5$، و $c = 1$.

بالتعويض في الصيغة، نحصل على:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 4}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

لذا، القيم الممكنة لـ $x$ هي:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$ و $x_2 = \frac{-5 – \sqrt{21}}{2}$

الآن، لحساب $x^3 + \frac{1}{x^3}$، نستخدم العلاقة التالية:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 – 3(x + \frac{1}{x})$

بعد أن قمنا بتعيين القيم لـ $x$، يمكننا استخدام القيم الموجودة في المعادلة السابقة لحساب $x^3 + \frac{1}{x^3}$.

نضع القيم المعطاة في المعادلة:

لنبدأ بالقيمة الأولى $x_1$:

$x_1^3 + \frac{1}{x_1^3} = (\frac{-5 + \sqrt{21}}{2})^3 + \frac{2}{-5 + \sqrt{21}} – 3(\frac{-5 + \sqrt{21}}{2})$

والآن للقيمة الثانية $x_2$:

$x_2^3 + \frac{1}{x_2^3} = (\frac{-5 – \sqrt{21}}{2})^3 + \frac{2}{-5 – \sqrt{21}} – 3(\frac{-5 – \sqrt{21}}{2})$

بهذه الطريقة، يمكننا حساب قيمتي $x^3 + \frac{1}{x^3}$ للقيمتين $x_1$ و $x_2$ والتي تمثلان الحلول للمعادلة الأصلية.

المزيد من المعلومات

تحليل مادة كيميائية C30H40O6

مطار كاريل سور: مركز جوي حيوي في كونسيبسيون