عكس النقاط حول محور y وحساب المسافة (مسألة رياضيات)

تمثل مثلث $ABC$ بوتيرة متكافئة بين نقاط الركن $A(-2، 0)$، و$B(1، 4)$، و$C(-3، 2)$، ويتم عكسه حول محور $y$ ليكون لدينا مثلث $A’B’C’$، نريد حساب طول القطعة المستقيمة المارة من $C$ إلى $C’$.

لتحديد نقطة $C’$ بعد عكس المثلث حول محور $y$، يجب علينا تغيير إحداثيات النقطة $C$ بتغيير إشارة الإحداثيات الأفقية. إذاً، إذا كانت إحداثيات $C$ هي $(-3، 2)$، فإن إحداثيات نقطة $C’$ ستكون $(3، 2)$.

الآن، لحساب طول القطعة المستقيمة من $C$ إلى $C’$، يمكننا استخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء. لنفترض أن النقطة $C$ لها إحداثيات $(x_1، y_1)$ والنقطة $C’$ لها إحداثيات $(x_2، y_2)$، فإن المسافة بينهما يمكن حسابها باستخدام المعادلة التالية:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

بتطبيق هذه المعادلة على نقطتي $C$ و $C’$، نحصل على:

$d = \sqrt{(3 – (-3))^2 + (2 – 2)^2}$

التبسيط يؤدي إلى:

$d = \sqrt{36} = 6$

إذاً، طول القطعة المستقيمة من $C$ إلى $C’$ هو 6 وحدات.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تطبيق بعض القوانين والمفاهيم الهندسية. أولاً، سنستخدم قاعدة عكس النقاط حول محور $y$، والتي تنص على أنه عند عكس نقطة حول محور $y$، يتغير إشارة الإحداثي الأفقي فقط. بمعنى آخر، إذا كانت النقطة الأصلية لها إحداثيات $(x, y)$، فإن النقطة المعكوسة حول محور $y$ ستكون لها إحداثيات $(-x, y)$.

باستخدام هذه القاعدة، نقوم بعكس إحداثيات النقطة $C(-3، 2)$ للحصول على إحداثيات النقطة $C’$:

$C’ = (-(-3), 2) = (3, 2)$

الآن، لحساب طول القطعة المستقيمة من $C$ إلى $C’$، نستخدم معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $C(-3, 2)$ هي $(x_1, y_1)$، و $C'(3, 2)$ هي $(x_2, y_2)$.

التعويض في المعادلة يعطينا:

$d = \sqrt{(3 – (-3))^2 + (2 – 2)^2} = \sqrt{36} = 6$

إذاً، طول القطعة المستقيمة من $C$ إلى $C’$ هو 6 وحدات.

تم استخدام قاعدة عكس النقاط حول محور $y$ في تغيير إشارة الإحداثي الأفقي، واستخدام معادلة المسافة بين نقطتين لحساب الطول.