عدم وجود نقاط تقاطع مع محور y لمعادلة تربيعية (مسألة رياضيات)

تُعبر المعادلة الرياضية $x = 2y^2 – 3y + 7$ عن قوس القطع الذي يمثل المنحنى الرياضي للدالة التربيعية. لنقم بحساب عدد نقاط التقاطع مع محور الصفر، المعروفة بنقاط التقاطع مع المحور الرأسي أو $y$-intercepts.

لحساب نقاط التقاطع مع محور $y$، نضع $x$ بدلالة صفر في المعادلة ونقوم بحلها للعثور على القيمة المتناظرة لـ $y$. لنقم بذلك:

$0 = 2y^2 – 3y + 7$

نستخدم الآن العديد من الخطوات لحل المعادلة التربيعية. قد يكون الحل تعقيدًا قليلاً، لكن دعونا نقوم بذلك بتفصيل:

$2y^2 – 3y + 7 = 0$

الآن سنقوم باستخدام القاعدة الشهيرة لحساب الجذر التربيعي:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في حالتنا، نعلن أن:
$a = 2, \quad b = -3, \quad c = 7$

ثم نستخدم هذه القيم في المعادلة:

$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \times 2 \times 7}}{2 \times 2}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 56}}{4}$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{-47}}{4}$

هنا نرى أن المُحتمل أن يكون لدينا جذر تخيلي (عندما نجد الجذر تحت الجذر سالب)، مما يعني أن المعادلة ليس لديها نقاط تقاطع مع المحور $y$.

بالتالي، إجابتنا هي أن المنحنى الرياضي للدالة $x = 2y^2 – 3y + 7$ لا يمر عبر محور $y$، وبالتالي ليس لديه أي نقاط تقاطع مع المحور الرأسي.

نعود إلى المسألة ونقوم بتفصيل الحل بمزيد من الدقة. نريد حساب عدد نقاط التقاطع مع محور $y$ للمنحنى الرياضي الذي يُمثله القوس $x = 2y^2 – 3y + 7$. الخطوات التالية توضح العمليات المستخدمة في الحل والقوانين المطبقة:

1. تحديد المعادلة الرياضية:
   المعادلة الرياضية للمنحنى هي $x = 2y^2 – 3y + 7$.

2. حساب نقاط التقاطع مع محور $y$:
   نقوم بوضع $x = 0$ في المعادلة لنحسب القيم المتناظرة لـ $y$. المعادلة هنا هي:
   $0 = 2y^2 – 3y + 7$

3. استخدام الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب القيم الممكنة لـ $y$:
   $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

   حيث $a = 2$, $b = -3$, و $c = 7$.

4. حساب الجذور:
   نقوم بتطبيق القيم في الصيغة ونحسب الجذور. في حالتنا، وبعد التبسيط، نجد أن الجذور هي تعبيرات تحتوي على جذر سالب، وهذا يعني أن الحل يكون تخيليًا.

5. تحليل النتائج:
   نتوصل إلى أن القيم الممكنة لـ $y$ تحتوي على جذر تخيلي، وبالتالي لا يوجد نقاط تقاطع مع محور $y$.

6. القوانين المستخدمة:

   • معادلة التربيعية: استخدمنا الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية للعثور على قيم $y$.
   • نقاط التقاطع مع محور $y$: حسبنا نقاط التقاطع عندما نضع قيمة $x$ بدلالة صفر في المعادلة.

بهذا الشكل، نستنتج أن المنحنى الرياضي للدالة $x = 2y^2 – 3y + 7$ لا يقاطع محور $y$، وتمثل القيم الممكنة لـ $y$ نقاطًا تخيلية بناءً على قوانين حساب الجذور.