مسائل رياضيات

عدم وجود حلول حقيقية للمعادلة. (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 09/03/2024
0

المسألة الرياضية هي: كم عدد الحلول الحقيقية للمعادلة التالية: (x−5x+12)2+1=−∣x∣(x – 5x + 12)^2 + 1 = -|x|

حل المسألة:
لنبدأ بتحليل المعادلة. نريد حل المعادلة:
(x−5x+12)2+1=−∣x∣(x – 5x + 12)^2 + 1 = -|x|

مواضيع ذات صلة

نبدأ بتبسيط التعبير داخل القوسين:
(6−5x)2+1=−∣x∣(6 – 5x)^2 + 1 = -|x|
=(36−60x+25x2)+1=−∣x∣= (36 – 60x + 25x^2) + 1 = -|x|
=25x2−60x+37=−∣x∣= 25x^2 – 60x + 37 = -|x|

ونعلم أن قيمة $|x|$ هي إيجابية أو صفر. إذاً، $-|x|$ سيكون أقل من أو يساوي صفر.

لذلك، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:
25x2−60x+37≥025x^2 – 60x + 37 \geq 0

الآن، نحتاج إلى معرفة متى تكون هذه المعادلة موجبة. يمكننا استخدام القاعدة التي تقول أن المعادلة الثانية $ax^2 + bx + c$ تكون موجبة عندما تكون قيمة القدرة التالية سالبة:
b2−4ac≤0b^2 – 4ac \leq 0

نطبق هذه القاعدة على المعادلة $25x^2 – 60x + 37$:
(−60)2−4⋅25⋅37≤0(-60)^2 – 4 \cdot 25 \cdot 37 \leq 0
3600−3700≤03600 – 3700 \leq 0
−100≤0-100 \leq 0

الآن، نرى أن القيمة الناتجة سالبة. هذا يعني أن المعادلة $25x^2 – 60x + 37$ ستكون موجبة أو تساوي صفر لجميع القيم الممكنة من $x$.

بالتالي، المعادلة الأصلية لن تحقق أي حلول حقيقية، لأنه لا يمكن أن تكون $-|x|$ موجبة أو تساوي صفر لأي قيم حقيقية لـ $x$.

بالتالي، عدد الحلول الحقيقية للمعادلة هو صفر.

المزيد من المعلومات

لنقوم بحل المسألة بتفصيل أكبر وذلك باستخدام القوانين الرياضية المناسبة:

المعادلة التي نحاول حلها هي:
(x−5x+12)2+1=−∣x∣(x – 5x + 12)^2 + 1 = -|x|

الخطوة الأولى هي تبسيط التعبير داخل القوسين. نقوم بذلك عن طريق استبدال $(x – 5x + 12)$ بقيمته الحقيقية، وهي $(6 – 5x)$:
(6−5x)2+1=−∣x∣(6 – 5x)^2 + 1 = -|x|
=(36−60x+25x2)+1=−∣x∣= (36 – 60x + 25x^2) + 1 = -|x|
=25x2−60x+37=−∣x∣= 25x^2 – 60x + 37 = -|x|

الآن، نحاول تحديد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة. نعلم أن $|x|$ يكون موجبًا أو يساوي صفر. وبما أننا تعاملنا مع $-|x|$، فإنه يمكن أن يكون سالبًا أو يساوي صفر.

لكننا نريد الحلول الحقيقية، لذا يجب أن يكون التعبير $25x^2 – 60x + 37$ غير سالب أو يساوي صفر لجميع قيم $x$.

نستخدم قاعدة القراءة الرئيسية في الجبر، التي تقول إذا كان لدينا متعددات $ax^2 + bx + c$ وكانت قيمة التعبير $b^2 – 4ac$ سالبة أو تساوي صفر، فإن المتعددة ستكون إيجابية أو تساوي صفر لجميع القيم الممكنة لـ $x$.

نطبق هذه القاعدة على $25x^2 – 60x + 37$:
(−60)2−4×25×37≤0(-60)^2 – 4 \times 25 \times 37 \leq 0
3600−3700≤03600 – 3700 \leq 0
−100≤0-100 \leq 0

القيمة المحسوبة هي سالبة، وهذا يعني أن $25x^2 – 60x + 37$ سيكون إيجابيًا أو يساوي صفر لجميع القيم الممكنة لـ $x$.

بالتالي، المعادلة الأصلية لن تحقق أي حلول حقيقية، لأنه لا يمكن أن يكون $-|x|$ موجبًا أو يساوي صفر لأي قيم حقيقية لـ $x$.

بالتالي، عدد الحلول الحقيقية للمعادلة هو صفر.

اخر تحديث 09/03/2024
0