عدد مربعات الوحدة في حلقة متزايدة (مسألة رياضيات)

نريد حساب عدد مربعات الوحدة في الحلقة الـ $100$.

من الملاحظ أن العدد الكلي للمربعات في الحلقة الأولى هو $8$، في الحلقة الثانية هو $16$، وهكذا. يبدو أن هناك علاقة بين عدد المربعات في كل حلقة وبين رقم تلك الحلقة.

إذاً، نريد أن نجد العلاقة التي تربط بين عدد المربعات ورقم الحلقة. لنلاحظ الأنماط:

• الحلقة الأولى: $8$ مربعات.
• الحلقة الثانية: $16$ مربعات.
• الحلقة الثالثة: $24$ مربعات.
• الحلقة الرابعة: $32$ مربعات.

نرى أن هناك زيادة بواقع $8$ مربعات لكل حلقة جديدة. هذا يعني أننا نضيف $8$ مربعات إضافية في كل مستوى جديد.

للعثور على عدد المربعات في الحلقة الـ $100$، يمكننا استخدام التسلسل الحسابي حيث نقوم بجمع الأعداد من $1$ إلى $100$ ثم نضرب الناتج بـ $8$ (لأنه هو معامل الزيادة).

المجموع الكلي للأعداد من $1$ إلى $100$ يُحسب بواسطة الصيغة التالية:
$S = \frac{n(n+1)}{2}$
حيث أن $n$ هو عدد الحلقات، وفي حالتنا هو $100$.

لذا:
$S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$

ثم نضرب هذا الناتج في $8$ لنحصل على عدد المربعات في الحلقة الـ $100$:
$5050 \times 8 = 40400$

إذاً، هناك مجموع $40400$ مربع وحدة في الحلقة الـ $100$.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم النمط الذي يحدد عدد مربعات الوحدة في كل حلقة. يُعتبر الحل بالتسلسل الحسابي الأمثل لفهم النمط واستخدام القوانين الحسابية.

لحل المسألة، نستخدم القوانين التالية:

1. القاعدة العامة للتسلسل الحسابي: هذه القاعدة تستخدم لحساب مجموع عناصر التسلسل الحسابي. القاعدة هي:
   $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
   حيث $S$ هو مجموع العناصر، $n$ هو عدد العناصر في التسلسل، $a_1$ هو أول عنصر في التسلسل، و $a_n$ هو آخر عنصر في التسلسل.

2. العلاقة بين عدد المربعات ورقم الحلقة: في هذه المسألة، نلاحظ أن العدد الكلي للمربعات في الحلقة الأولى هو $8$، وفي الحلقة الثانية هو $16$، وهكذا. يمكننا استخدام العلاقة العامة لحساب عدد المربعات في كل حلقة.

باستخدام هذه القوانين، نقوم بحساب مجموع عدد المربعات في كل الحلقات حتى الحلقة المطلوبة. نضع $n$ كعدد الحلقات ونستخدم القاعدة العامة للتسلسل الحسابي لحساب مجموع العناصر.

لنحسب الآن عدد مربعات الوحدة في الحلقة الـ $100$ باستخدام القوانين المذكورة:

1. نحسب عدد المربعات في الحلقة الأولى: $8$ مربعات.
2. نحسب عدد المربعات في الحلقة الثانية: $16$ مربعات.
3. نحسب عدد المربعات في الحلقة الثالثة: $24$ مربعات.
4. وهكذا.

نستمر في هذا النمط ونجمع جميع العناصر حتى الحلقة المطلوبة.

وبهذه الطريقة، نحصل على الإجابة بدقة وموثوقية باستخدام القوانين الحسابية وفهم النمط في السلسلة.